Какова координата точки, в которой функция y = 441 x + x достигает максимума?

Ветка

21

Чтобы найти координату точки, в которой функция \(y = \frac{441}{x} + x\) достигает максимума, мы можем использовать метод дифференцирования. Дифференцируем функцию по переменной \(x\) для нахождения точки экстремума. Для этого, сначала найдем производную функции \(y\) по \(x\).

\[
\frac{d}{dx}y = \frac{d}{dx} \left( \frac{441}{x} + x \right)
\]

Для упрощения расчетов, сначала упростим выражение \(\frac{441}{x}\), найдя производную функции \(\frac{1}{x}\):

\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{1}{x^2}
\]

Теперь найдем производную функции \(x\):

\[
\frac{d}{dx} x = 1
\]

Используя правило суммы для дифференцирования, мы найдем производную исходной функции \(y\):

\[
\frac{d}{dx}y = -\frac{1}{x^2} + 1
\]

Чтобы найти точку экстремума, мы приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[
-\frac{1}{x^2} + 1 = 0
\]

Для решения этого уравнения, мы сначала умножим обе стороны на \(x^2\):

\[
-1 + x^2 = 0
\]

Теперь добавим 1 к обеим сторонам:

\[
x^2 = 1
\]

Найдем корни этого уравнения, взяв квадратный корень обеих сторон:

\[
x = \pm 1
\]

Теперь, чтобы найти соответствующую координату \(y\), мы подставим найденные значения \(x\) обратно в исходную функцию \(y = \frac{441}{x} + x\):

Для \(x = 1\), получаем:

\[
y = \frac{441}{1} + 1 = 442
\]

Для \(x = -1\), получаем:

\[
y = \frac{441}{-1} + (-1) = -440
\]

Таким образом, координаты точек, в которых функция достигает максимума, являются \((-1, -440)\) и \((1, 442)\).