Какие значения имеют неопределенные стороны прямоугольного треугольника ABC (где угол C равен 90 градусов), если длина
Какие значения имеют неопределенные стороны прямоугольного треугольника ABC (где угол C равен 90 градусов), если длина AC равна 3 и sin B равен 1/4?
Валентин 66
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой пифагора, которая устанавливает связь между сторонами прямоугольного треугольника.Согласно теореме пифагора, квадрат длины гипотенузы (стороны, противолежащей прямому углу) равен сумме квадратов длин катетов (оставшихся сторон). То есть, для нашего треугольника справедливо следующее:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]
Мы знаем, что длина стороны AC равна 3. Пусть длина стороны AB равна \(x\), а длина стороны BC равна \(y\). Тогда у нас есть следующая система уравнений:
\[
\begin{cases}
3^2 = x^2 + y^2 \\
\sin B = \frac{1}{4}
\end{cases}
\]
Рассмотрим второе уравнение. Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае, гипотенуза равна 3 (сторона AC), а противолежащий катет - сторона AB (обозначим ее \(x\)). Таким образом, получаем:
\[\sin B = \frac{x}{3}\]
Исходя из информации задачи, синус B равен 1/4. Подставим это в уравнение:
\[\frac{x}{3} = \frac{1}{4}\]
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
\[x = \frac{3}{4}\]
Теперь у нас есть значение \(x\) - длина стороны AB. Мы можем подставить его в первое уравнение системы:
\[3^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 + y^2\]
Вычислим значения слева и справа от равного знака:
\[9 = \frac{9}{16} + y^2\]
Упростим уравнение:
\[9 - \frac{9}{16} = y^2\]
\[\frac{144}{16} - \frac{9}{16} = y^2\]
\[\frac{135}{16} = y^2\]
Чтобы найти значение \(y\), избавимся от квадрата и извлечем корень:
\[y = \sqrt{\frac{135}{16}}\]
Теперь мы получили значения \(x\) и \(y\), которые являются длинами сторон AB и BC прямоугольного треугольника ABC. Чтобы упростить ответ, мы можем заключить их в радикал:
\[x = \frac{3}{4}, y = \sqrt{\frac{135}{16}}\]