Какие значения имеют первый член, разность и сумма семи членов арифметической прогрессии, если при делении седьмого

Яблоко

18

6 с остатком 1?

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Итак, у нас есть арифметическая прогрессия со следующими условиями:

$$\frac{a_7}{a_2}=2\text{{с остатком}}4$$
$$\frac{a_{13}}{a_3}=6\text{{с остатком}}1$$

Для решения этой задачи мы можем использовать общую формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

Где $a_n$ - $n$-ый член прогрессии, $a_1$ - первый член прогрессии, $d$ - разность прогрессии.

Для начала, найдем значения первого члена ($a_1$), разности ($d$) и суммы первых семи членов ($S_7$).

По условию, если мы разделим седьмой член прогрессии на второй, получим результат, равный 2 с остатком 4:

$$\frac{a_7}{a_2}=2\text{{с остатком}}4$$

Это означает, что седьмой член прогрессии можно представить в виде $a_7=2a_2+4$.

Также, если мы разделим тринадцатый член прогрессии на третий, получим результат, равный 6 с остатком 1:

$$\frac{a_{13}}{a_3}=6\text{{с остатком}}1$$

Это означает, что тринадцатый член прогрессии можно представить в виде $a_{13}=6a_3+1$.

Теперь мы можем использовать эти уравнения, чтобы найти значения $a_1$ и $d$.

Для этого мы составим два уравнения, используя представленные выше выражения для $a_7$ и $a_{13}$, и решим их систему. Также, поскольку нам известно, что прогрессия арифметическая, мы знаем, что разность между седьмым и вторым членом равна разности между тринадцатым и третьим членом.

Выпишем эти уравнения:

1) $a_7=2a_2+4$
2) $a_{13}=6a_3+1$
3) $a_7-a_2=a_{13}-a_3$

Теперь решим эту систему уравнений.

Вычтем уравнение 2) из уравнения 1):

$(a_7-2a_2)-(a_{13}-6a_3)=(2a_2-6a_3)+(4-1)$

$(a_7-a_{13})+(2a_2-6a_3)=(2a_2-6a_3)+3$

Теперь упростим это уравнение:

$a_7-a_{13}=3$

Таким образом, мы получили, что разность между седьмым и тринадцатым членом прогрессии равна 3.

Теперь вернемся к уравнению 3):

$a_7-a_2=a_{13}-a_3$

Мы знаем, что $a_7-a_{13}=3$, поэтому заменим это значение в уравнении:

$3=a_2-a_3$

Теперь мы можем выразить $a_2$ через $a_3$:

$a_2=a_3+3$

Теперь, когда мы знаем значение $a_2$, мы можем найти $a_7$:

$a_7=2a_2+4$

Подставим значение $a_2=a_3+3$:

$a_7=2(a_3+3)+4$

Раскроем скобки:

$a_7=2a_3+6+4$

$a_7=2a_3+10$

Теперь мы знаем, что седьмой член прогрессии равен $a_7=2a_3+10$.

Таким образом, мы нашли значения первого члена ($a_1=a_3+3$), разности ($d=3$) и суммы первых семи членов ($S_7=2a_3+10$).

Подводя итог, первый член прогрессии ($a_1$) равен $a_3+3$, разность ($d$) равна 3, а сумма первых семи членов ($S_7$) равна $2a_3+10$.