Какие значения имеют первый член, разность и сумма семи членов арифметической прогрессии, если при делении седьмого

Яблоко

18

6 с остатком 1?

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Итак, у нас есть арифметическая прогрессия со следующими условиями:

\[
\frac{{a_7}}{{a_2}} = 2 \, \text{{с остатком}} \, 4
\]
\[
\frac{{a_{13}}}{{a_3}}= 6 \, \text{{с остатком}} \, 1
\]

Для решения этой задачи мы можем использовать общую формулу для \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[
a_n = a_1 + (n-1)d
\]

Где \(a_n\) - \(n\)-ый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

Для начала, найдем значения первого члена (\(a_1\)), разности (\(d\)) и суммы первых семи членов (\(S_7\)).

По условию, если мы разделим седьмой член прогрессии на второй, получим результат, равный 2 с остатком 4:

\[
\frac{{a_7}}{{a_2}} = 2 \, \text{{с остатком}} \, 4
\]

Это означает, что седьмой член прогрессии можно представить в виде \(a_7 = 2a_2 + 4\).

Также, если мы разделим тринадцатый член прогрессии на третий, получим результат, равный 6 с остатком 1:

\[
\frac{{a_{13}}}{{a_3}}= 6 \, \text{{с остатком}} \, 1
\]

Это означает, что тринадцатый член прогрессии можно представить в виде \(a_{13} = 6a_3 + 1\).

Теперь мы можем использовать эти уравнения, чтобы найти значения \(a_1\) и \(d\).

Для этого мы составим два уравнения, используя представленные выше выражения для \(a_7\) и \(a_{13}\), и решим их систему. Также, поскольку нам известно, что прогрессия арифметическая, мы знаем, что разность между седьмым и вторым членом равна разности между тринадцатым и третьим членом.

Выпишем эти уравнения:

1) \(a_7 = 2a_2 + 4\)
2) \(a_{13} = 6a_3 + 1\)
3) \(a_7 - a_2 = a_{13} - a_3\)

Теперь решим эту систему уравнений.

Вычтем уравнение 2) из уравнения 1):

\((a_7 - 2a_2) - (a_{13} - 6a_3) = (2a_2 - 6a_3) + (4 - 1)\)

\((a_7 - a_{13}) + (2a_2 - 6a_3) = (2a_2 - 6a_3) + 3\)

Теперь упростим это уравнение:

\(a_7 - a_{13} = 3\)

Таким образом, мы получили, что разность между седьмым и тринадцатым членом прогрессии равна 3.

Теперь вернемся к уравнению 3):

\(a_7 - a_2 = a_{13} - a_3\)

Мы знаем, что \(a_7 - a_{13} = 3\), поэтому заменим это значение в уравнении:

\(3 = a_2 - a_3\)

Теперь мы можем выразить \(a_2\) через \(a_3\):

\(a_2 = a_3 + 3\)

Теперь, когда мы знаем значение \(a_2\), мы можем найти \(a_7\):

\(a_7 = 2a_2 + 4\)

Подставим значение \(a_2 = a_3 + 3\):

\(a_7 = 2(a_3 + 3) + 4\)

Раскроем скобки:

\(a_7 = 2a_3 + 6 + 4\)

\(a_7 = 2a_3 + 10\)

Теперь мы знаем, что седьмой член прогрессии равен \(a_7 = 2a_3 + 10\).

Таким образом, мы нашли значения первого члена (\(a_1 = a_3 + 3\)), разности (\(d = 3\)) и суммы первых семи членов (\(S_7 = 2a_3 + 10\)).

Подводя итог, первый член прогрессии (\(a_1\)) равен \(a_3 + 3\), разность (\(d\)) равна 3, а сумма первых семи членов (\(S_7\)) равна \(2a_3 + 10\).