Какие значения имеют стороны прямоугольника, если его периметр равен 60 см, а площадь - 144 см²?

Solnechnyy_Svet

59

Для начала, давайте обозначим длины сторон прямоугольника как \(a\) и \(b\).

Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон. В данном случае, периметр равен 60 см, поэтому мы можем записать уравнение:

\[2a + 2b = 60\]

Если мы разделим это уравнение на 2, получим:

\[a + b = 30\]

Теперь перейдем к площади прямоугольника. Площадь прямоугольника определяется как произведение длины его сторон. В данном случае, площадь равна 144 см², поэтому мы можем записать уравнение:

\[a \cdot b = 144\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[\begin{align*}
a + b &= 30 \\
a \cdot b &= 144
\end{align*}\]

Существует несколько способов решить эту систему уравнений. Один из них — метод подстановки. Давайте решим систему этим методом.

Из первого уравнения мы можем выразить \(a\) через \(b\), представляя его в виде \(a = 30 - b\). Подставим это значение во второе уравнение:

\[(30 - b) \cdot b = 144\]

Раскроем скобки:

\[30b - b^2 = 144\]

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

\[b^2 - 30b + 144 = 0\]

Мы можем попытаться разложить левую часть этого уравнения на множители или воспользоваться квадратным уравнением. В данном случае, легче воспользоваться квадратным уравнением.

Выполним дискриминант \(D\) квадратного уравнения:

\[D = b^2 - 4ac\]

Здесь \(a = 1\), \(b = -30\), \(c = 144\). Подставим эти значения:

\[D = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 900 - 576 = 324\]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня.

\[b_1 = \frac{-(-30) + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{30 + 18}{2} = 24\]

\[b_2 = \frac{-(-30) - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{30 - 18}{2} = 6\]

Теперь, чтобы найти соответствующие значения для \(a\), мы можем использовать первое уравнение:

\[a_1 = 30 - b_1 = 30 - 24 = 6\]

\[a_2 = 30 - b_2 = 30 - 6 = 24\]

Таким образом, мы получили две пары значений для сторон прямоугольника: \(a_1 = 6\) см, \(b_1 = 24\) см и \(a_2 = 24\) см, \(b_2 = 6\) см.

Ответ: Стороны прямоугольника могут иметь значения 6 см и 24 см, а также 24 см и 6 см.