Какие значения имеют выражения: 1) cos 17П/16 и cos 19п/18?

Shmel

23

Для решения задачи, нам надо использовать тригонометрическую формулу двойного угла \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\).

Также нам понадобится знание о значениях функции косинуса на углах \(0\), \(\pi/2\), \(\pi\) и \(2\pi\):

\[
\begin{align*}
\cos(0) &= 1 \\
\cos(\pi/2) &= 0 \\
\cos(\pi) &= -1 \\
\cos(2\pi) &= 1 \\
\end{align*}
\]

Теперь приступим к решению задачи.

1) Посмотрим на выражение \(\cos(17\pi/16)\).

У нас есть формула для двойного угла, но \(17\pi/16\) не является двойным углом. Однако, мы можем разложить угол \(17\pi/16\) на сумму двух углов, например \(2\pi/16\) и \(15\pi/16\).

Теперь мы можем записать это выражение как \(\cos((2\pi/16) + (15\pi/16))\).

Используем формулу для суммы двух углов \(\cos(a + b) = \cos(a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b)\), получим:

\[
\cos((2\pi/16) + (15\pi/16)) = \cos(2\pi/16) \cos(15\pi/16) - \sin(2\pi/16) \sin(15\pi/16)
\]

Теперь мы знаем значения косинуса и синуса для \(2\pi/16\) и \(15\pi/16\), так как \(2\pi/16\) равно \(\pi/8\) и \(15\pi/16\) равно \(15\pi/8\).

Значит, мы можем подставить эти значения:

\[
\cos(17\pi/16) = \cos(\pi/8) \cos(15\pi/8) - \sin(\pi/8) \sin(15\pi/8)
\]

Теперь посчитаем значения \(\cos(\pi/8)\), \(\cos(15\pi/8)\), \(\sin(\pi/8)\) и \(\sin(15\pi/8)\), используя таблицу значений или калькулятор. Получим:

\[
\cos(17\pi/16) \approx -0.92388
\]

2) Рассмотрим выражение \(\cos(19\pi/18)\).

Опять же, мы не можем использовать формулу для двойного угла напрямую, так как \(19\pi/18\) не является двойным углом.

Мы можем представить угол \(19\pi/18\) как сумму двух углов: \(18\pi/18\) и \(\pi/18\).

Теперь мы можем записать это выражение как \(\cos((18\pi/18) + (\pi/18))\).

Используем формулу для суммы двух углов:

\[
\cos((18\pi/18) + (\pi/18)) = \cos(18\pi/18) \cos(\pi/18) - \sin(18\pi/18) \sin(\pi/18)
\]

Значения косинуса и синуса для \(18\pi/18\) и \(\pi/18\) равны, соответственно, \(1\) и \(\pi/18\).

Подставляем значения:

\[
\cos(19\pi/18) = \cos(\pi/18) - \sin(\pi/18) \cdot \pi/18
\]

Посчитаем значения \(\cos(\pi/18)\) и \(\sin(\pi/18)\):

\[
\cos(19\pi/18) \approx 0.80902
\]

Таким образом, значения выражений равны:

1) \(\cos(17\pi/16) \approx -0.92388\)
2) \(\cos(19\pi/18) \approx 0.80902\)

Надеюсь, ответ был понятен и полезен для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.