Какие значения коэффициента c приводят к тому, что прямая и окружность имеют одну общую точку (прямая касается

Морской_Сказочник_5458

63

Чтобы определить значения коэффициента c, при которых прямая и окружность имеют одну общую точку (прямая касается окружности), нам необходимо рассмотреть геометрическое свойство касания.

Для начала, давайте определим уравнение прямой и окружности. Пусть уравнение прямой имеет вид y = mx + c, где m - наклон прямой, а с - свободный коэффициент. Уравнение окружности с центром в точке (a, b) и радиусом r можно записать как (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.

Для того чтобы прямая и окружность касались, у них должна быть одна общая точка. Это означает, что решение системы из уравнений прямой и окружности должно иметь единственное решение.

Подставляя уравнение прямой в уравнение окружности, получаем:

(x - a)^2 + (mx + c - b)^2 = r^2

Раскрывая скобки, получаем:

x^2 - 2ax + a^2 + m^2x^2 + 2mcx + c^2 - 2bmx + 2bm - r^2 = 0

Собирая все члены с одинаковыми степенями, получаем:

(1 + m^2)x^2 + (2mc - 2ab)x + (a^2 + c^2 - 2bm - r^2) = 0

Для того, чтобы система имела единственное решение, дискриминант этого квадратного уравнения должен равняться нулю.

Дискриминант равен:

D = (2mc - 2ab)^2 - 4(1 + m^2)(a^2 + c^2 - 2bm - r^2)

Подставляя D = 0, получим:

(2mc - 2ab)^2 - 4(1 + m^2)(a^2 + c^2 - 2bm - r^2) = 0

Раскрывая скобки, получим:

4m^2c^2 - 8abmc + 4a^2b^2 - 4(a^2 + c^2 - 2bm - r^2)(1 + m^2) = 0

Упрощая уравнение, получаем:

4m^2c^2 - 8abmc + 4a^2b^2 - 4a^2 - 4c^2 + 8bm + 4r^2m^2 - 4bm - 4r^2 = 0

Группируя члены, получаем:

4m^2(c^2 + r^2) - 4bm(a + r^2) - 4(a^2 + c^2) + 4a^2b^2 = 0

Делая замену \(A = c^2 + r^2\), \(B = a + r^2\) и \(C = a^2 + c^2\), уравнение примет вид:

4m^2A - 4bmB - 4C + 4a^2b^2 = 0

Делим обе части уравнения на 4, чтобы упростить его:

m^2A - bmB - C + a^2b^2 = 0

Теперь запишем уравнение в виде квадратного трёхчлена:

m^2A - bmB + a^2b^2 = C

Данное уравнение основано на геометрическом свойстве касания прямой и окружности.

Таким образом, значения коэффициента c, при которых прямая и окружность имеют одну общую точку (прямая касается окружности), можно записать так: \(c = \sqrt{C - a^2}\) или \(c = -\sqrt{C - a^2}\), где C - это \(c^2 + r^2\), a - координата центра окружности по оси x, и b - координата центра окружности по оси y. Значения коэффициента c следует записывать через точку с запятой (;) в возрастающем порядке, без пустых мест.