Какова длина стороны AB треугольника ABC, если известно, что AC равно 42,6 см, ∢ B равен 30° и ∢ C равен 45°?

Булька

51

Для решения задачи мы можем использовать теорему синусов, которая позволяет нам найти длину стороны треугольника при известных длинах других сторон и соответствующих им углах.

Сначала у нас есть длины сторон AC и AB и углы B и C. Нам нужно найти длину стороны AB.

Теорема синусов утверждает, что отношение длин сторон треугольника к синусам соответствующих им углов постоянно. Формула теоремы синусов выглядит следующим образом:

$${\displaystyle \frac{AB}{\sin A}}={\displaystyle \frac{AC}{\sin B}}={\displaystyle \frac{BC}{\sin C}}$$

В данной задаче у нас уже известны стороны AC и угол B. Мы знаем, что AC равно 42,6 см и угол B равен 30°. Нам нужно найти длину стороны AB.

Чтобы найти угол A, мы можем воспользоваться тем, что сумма углов треугольника равна 180°. Таким образом, угол A будет равен:

$$A=180-B-C$$
$$A=180-30-45$$
$$A=105$$

Теперь у нас известны все значения для применения теоремы синусов. Подставим полученные значения в формулу:

$${\displaystyle \frac{AB}{\sin A}}={\displaystyle \frac{AC}{\sin B}}$$

Для удобства, перепишем формулу следующим образом:

$$AB=AC\cdot {\displaystyle \frac{\sin A}{\sin B}}$$

Теперь осталось только вычислить значение AB, подставив известные значения:

$$AB=42,6\cdot {\displaystyle \frac{\sin 105}{\sin 30}}$$

Вычислим значения синусов углов:

$$\sin 105\approx 0,966$$
$$\sin 30={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

Теперь, продолжим подстановку значений:

$$AB=42,6\cdot {\displaystyle \frac{0,966}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$$
$$AB=42,6\cdot 1,932$$
$$AB\approx 82,29$$

Таким образом, длина стороны AB треугольника ABC при заданных условиях составляет около 82,29 см.