Какова длина стороны AB треугольника ABC, если известно, что AC равно 42,6 см, ∢ B равен 30° и ∢ C равен 45°?

Булька

51

Для решения задачи мы можем использовать теорему синусов, которая позволяет нам найти длину стороны треугольника при известных длинах других сторон и соответствующих им углах.

Сначала у нас есть длины сторон AC и AB и углы B и C. Нам нужно найти длину стороны AB.

Теорема синусов утверждает, что отношение длин сторон треугольника к синусам соответствующих им углов постоянно. Формула теоремы синусов выглядит следующим образом:

\[\dfrac{AB}{\sin A} = \dfrac{AC}{\sin B} = \dfrac{BC}{\sin C}\]

В данной задаче у нас уже известны стороны AC и угол B. Мы знаем, что AC равно 42,6 см и угол B равен 30°. Нам нужно найти длину стороны AB.

Чтобы найти угол A, мы можем воспользоваться тем, что сумма углов треугольника равна 180°. Таким образом, угол A будет равен:

\[A = 180 - B - C\]
\[A = 180 - 30 - 45\]
\[A = 105\]

Теперь у нас известны все значения для применения теоремы синусов. Подставим полученные значения в формулу:

\[\dfrac{AB}{\sin A} = \dfrac{AC}{\sin B}\]

Для удобства, перепишем формулу следующим образом:

\[AB = AC \cdot \dfrac{\sin A}{\sin B}\]

Теперь осталось только вычислить значение AB, подставив известные значения:

\[AB = 42,6 \cdot \dfrac{\sin 105}{\sin 30}\]

Вычислим значения синусов углов:

\[\sin 105 \approx 0,966\]
\[\sin 30 = \dfrac{1}{2}\]

Теперь, продолжим подстановку значений:

\[AB = 42,6 \cdot \dfrac{0,966}{\dfrac{1}{2}}\]
\[AB = 42,6 \cdot 1,932\]
\[AB \approx 82,29\]

Таким образом, длина стороны AB треугольника ABC при заданных условиях составляет около 82,29 см.