Какие значения коэффициента c удовлетворяют условию, что прямая x+y+c=0 и окружность x2+y2=72 имеют одну общую точку

Путник_С_Камнем

33

Давайте решим задачу в несколько шагов, чтобы все было понятно:

Шаг 1: Уравнение прямой
У нас дано уравнение прямой x + y + c = 0, где c - неизвестный коэффициент. Чтобы прямая и окружность имели одну общую точку, нужно, чтобы прямая касалась окружности. Касание происходит в том случае, когда расстояние между центром окружности и прямой равно радиусу окружности.

Шаг 2: Найдем радиус окружности
Уравнение окружности дано как x^2+y^2=72. Мы знаем, что радиус окружности равен квадратному корню из величины, стоящей в правой части уравнения, т.е. радиус = √72.

Шаг 3: Найдем расстояние между прямой и центром окружности
Расстояние между прямой ax + by + c = 0 и точкой (x0, y0) можно вычислить с помощью формулы:
d = |(ax0 + by0 + c)| / √(a^2 + b^2)

В нашем случае уравнение прямой - x + y + c = 0. Центр окружности находится в начале координат (0, 0), поэтому x0 = 0 и y0 = 0. Подставим значения в формулу и получим:
d = |(0 + 0 + c)| / √(1^2 + 1^2) = |c| / √2

Шаг 4: Найдем радиус окружности
Мы уже вычислили, что радиус окружности равен √72.

Шаг 5: Установим условие касания
Если прямая касается окружности, то расстояние между прямой и центром окружности должно быть равно радиусу окружности, то есть:
|c| / √2 = √72

Шаг 6: Найдем значения c
Умножим обе части уравнения на √2 и возводим обе части в квадрат, чтобы избавиться от корней:
(c^2 / 2) = 72

Умножим обе части на 2:
c^2 = 144

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
c = ±12

Значит, значения коэффициента c, которые удовлетворяют условию задачи и позволяют прямой и окружности иметь одну общую точку (прямая касается окружности), равны 12 и -12.

Ответ: c = 12; -12.