Какие значения m и n должны быть, чтобы векторы 2a-3b и c(m; 8; n) были коллинеарными?

Aleksandr

34

Чтобы векторы \(2a-3b\) и \(c(m; 8; n)\) были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы они были параллельными. Векторы называются параллельными, если один из них равен другому умноженному на некоторое число.

Рассмотрим вектор \(2a-3b\). Чтобы вектор \(c(m; 8; n)\) был параллельным этому вектору, необходимо и достаточно, чтобы каждая координата вектора \(c(m; 8; n)\) была пропорциональна соответствующей координате вектора \(2a-3b\).

Распишем это условие для каждой координаты:

1) Для координаты x (первая координата) получаем уравнение:
\[2a = cm\]

2) Для координаты y (вторая координата) получаем уравнение:
\[-3b = c \cdot 8\]

3) Для координаты z (третья координата) получаем уравнение:
\[0 = cn\]

Проанализируем каждое из этих уравнений:

1) Уравнение \(2a = cm\) означает, что координаты x векторов \(2a\) и \(c(m; 8; n)\) будут пропорциональны, если \(m\) будет равно \(\frac{{2a}}{{c}}\).

2) Уравнение \(-3b = c \cdot 8\) означает, что координаты y векторов \(2a\) и \(c(m; 8; n)\) будут пропорциональны, если \(c\) будет равно \(\frac{{-3b}}{{8}}\).

3) Уравнение \(0 = cn\) означает, что координаты z векторов \(2a\) и \(c(m; 8; n)\) будут пропорциональны, если \(n = 0\) (в данном случае значение \(n\) не имеет значения, так как любое число, умноженное на 0, будет равно 0).

Итак, для того чтобы векторы \(2a-3b\) и \(c(m; 8; n)\) были коллинеарными, значения \(m\) и \(n\) могут быть любыми, но \(m\) должно быть равно \(\frac{{2a}}{{c}}\), а \(n\) должно быть равно 0.