Какие значения может принимать sin a, если cos a = -1 / sqrt(3)?

Луна_В_Облаках

23

Для решения этой задачи мы воспользуемся связью между тригонометрическими функциями sin и cos в прямоугольном треугольнике.

Известно, что cos a = -1 / sqrt(3). Для начала, давайте вспомним, что синус угла определяется как отношение противоположного катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Обозначим противоположий катет за b, а гипотенузу за c.

С использованием теоремы Пифагора, мы можем найти значение смежной катеты и гипотенузы:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

Так как cos a = -1 / sqrt(3), мы знаем, что а = 1 и c = sqrt(3). Подставим эти значения в уравнение Пифагора:

\[1^2 + b^2 = (\sqrt{3})^2\]
\[1 + b^2 = 3\]
\[b^2 = 2\]
\[b = \sqrt{2}\]

Теперь, у нас есть значения для b и c, мы можем найти значение sin a, используя определение sin:

\[\sin{a} = \frac{b}{c}\]
\[\sin{a} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\]

Чтобы упростить это значение, давайте избавимся от корней в знаменателе, умножив на \(\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}}}\):

\[\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\]

Таким образом, мы получаем, что sin a = \(\frac{\sqrt{6}}{3}\).

Таким образом, значение sin a, при cos a = -1 / sqrt(3), равно \(\frac{\sqrt{6}}{3}\).