Какие значения нужно найти для функций S(t)=2t^4+3t^2-t+корень из t^3 v(t) и a(t)?

Муся

66

Конечно, давайте начнем! У нас дана функция перемещения \( S(t) \), которая равна \( 2t^4 + 3t^2 - t + \sqrt{t^3} \). Мы должны найти значения скорости \( v(t) \) и ускорения \( a(t) \) для этой функции.

Чтобы найти \( v(t) \), нам нужно взять производную от \( S(t) \) по времени \( t \). Воспользуемся правилом производной суммы, разности и произведения функций.

\[
v(t) = \frac{{dS(t)}}{{dt}}
\]

Давайте найдем производные каждого слагаемого в \( S(t) \) по отдельности. Для этого воспользуемся правилами степенной функции и цепного правила.

1. Производная \( 2t^4 \) равна:
\[
\frac{{d(2t^4)}}{{dt}} = 8t^3
\]

2. Производная \( 3t^2 \) равна:
\[
\frac{{d(3t^2)}}{{dt}} = 6t
\]

3. Производная \( -t \) равна:
\[
\frac{{d(-t)}}{{dt}} = -1
\]

4. Производная \( \sqrt{t^3} \) равна:
\[
\frac{{d(\sqrt{t^3})}}{{dt}} = \frac{{3t^2}}{{2\sqrt{t^3}}} = \frac{{3t^2}}{{2t\sqrt{t}}} = \frac{{3t}}{{2\sqrt{t}}}
\]

Теперь сложим все производные вместе, чтобы получить производную \( S(t) \):

\[
v(t) = 8t^3 + 6t - 1 + \frac{{3t}}{{2\sqrt{t}}}
\]

Таким образом, мы нашли значение функции скорости \( v(t) \).

Теперь перейдем к нахождению \( a(t) \), которое является производной от \( v(t) \) по времени \( t \).

\[
a(t) = \frac{{dv(t)}}{{dt}}
\]

Для этого снова найдем производные каждого слагаемого в \( v(t) \).

1. Производная \( 8t^3 \) равна:
\[
\frac{{d(8t^3)}}{{dt}} = 24t^2
\]

2. Производная \( 6t \) равна:
\[
\frac{{d(6t)}}{{dt}} = 6
\]

3. Производная \( -1 \) равна:
\[
\frac{{d(-1)}}{{dt}} = 0
\]

4. Производная \( \frac{{3t}}{{2\sqrt{t}}} \) равна:
\[
\frac{{d\left(\frac{{3t}}{{2\sqrt{t}}}\right)}}{{dt}} = \frac{{3\sqrt{t} - \frac{{3t}}{{4\sqrt{t}}}}}{{2\sqrt{t}}} = \frac{{3\sqrt{t} - \frac{{3}}{{4}}\sqrt{t}}}}{{2\sqrt{t}}} = \frac{{\frac{{9}}{{4}}\sqrt{t}}}}{{2\sqrt{t}}} = \frac{{9}}{{8}}
\]

Теперь сложим все производные вместе, чтобы получить производную \( v(t) \):

\[
a(t) = 24t^2 + 6 + 0 + \frac{{9}}{{8}}
\]

Таким образом, мы нашли значение функции ускорения \( a(t) \).

Итак, значения, которые нужно найти для функций \( S(t) \), \( v(t) \) и \( a(t) \) равны:

\( v(t) = 8t^3 + 6t - 1 + \frac{{3t}}{{2\sqrt{t}}} \)

\( a(t) = 24t^2 + 6 + \frac{{9}}{{8}} \)

Надеюсь, этот ответ будет понятен школьнику! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!