Какие значения параметра a приводят к тому, что данная система уравнений имеет два различных решения?

Solnce_V_Gorode

31

Чтобы ответить на ваш вопрос, давайте рассмотрим систему уравнений, для которых необходимо найти значения параметра \(a\) для того, чтобы система имела два различных решения.

Предположим, у нас есть система уравнений:
\[
\begin{align*}
ax + y &= 5 \\
2x + y &= 8 \\
\end{align*}
\]

Для определения количества решений системы уравнений, нам потребуется рассмотреть коэффициенты \(a\) и \(b\). Здесь переменные \(x\) и \(y\) являются неизвестными, которые мы пытаемся найти.

Для начала, давайте решим эту систему уравнений методом подстановки и определим значения \(a\), при которых система имеет два различных решения.

1. Подставим уравнение (2) в уравнение (1) для избавления от \(y\):

\[
ax + (8 - 2x) = 5
\]

2. Упростим эту систему, раскрыв скобки:

\[
ax + 8 - 2x = 5
\]

3. Сгруппируем переменные \(x\):

\[
ax - 2x = 5 - 8
\]

\[
(a - 2)x = -3
\]

4. Разделим обе части уравнения на \((a - 2)\):

\[
x = \frac{-3}{a - 2}
\]

5. Теперь, когда мы нашли значение \(x\), мы можем подставить его в любое из исходных уравнений, чтобы найти соответствующее значение \(y\).

В данном случае, давайте воспользуемся уравнением (2):

\[
2\left(\frac{-3}{a - 2}\right) + y = 8
\]

6. Упростим это уравнение:

\[
\frac{-6}{a - 2} + y = 8
\]

7. Получили выражение для \(y\), приведенное к общему знаменателю:

\[
y = 8 - \frac{-6}{a - 2} = 8 + \frac{6}{2 - a}
\]

Теперь у нас есть выражения для \(x\) и \(y\) в зависимости от параметра \(a\). Если мы хотим, чтобы система имела два различных решения, это означает, что \(x\) и \(y\) не должны принимать одинаковые значения.

Исключим ситуации, при которых \(x\) и \(y\) принимают одинаковые значения:

1. Поскольку \(x\) находится в знаменателе выражения для \(y\), знаменатель \((2 - a)\) не должен равняться нулю. Таким образом, \(a\) не должно равняться 2.

2. Если знаменатель \((2 - a)\) положителен, то изменение значения \(a\) на большее или меньшее значение не повлияет на знак и число; следовательно, параметр \(a\) не может быть равным 2.

Таким образом, значения параметра \(a\), которые приводят к тому, что данная система уравнений имеет два различных решения, - это любые значения \(a\), которые не равны 2.

Имейте в виду, что это решение относится только к предложенной системе уравнений. В зависимости от конкретной системы уравнений, требования для двух различных решений могут отличаться.