Определите значение неподвижной точки функции ln(x+1)+1 с точностью до двух десятичных знаков: R > = 0

Японка_9355

38

Для решения задачи о нахождении неподвижной точки функции ln(x+1)+1 с точностью до двух десятичных знаков, нам необходимо найти значение x, при котором функция равна x.

Итак, начнем сравнивать значения функции ln(x+1)+1 и значения x. Для этого поставим уравнение ln(x+1)+1 = x.

Давайте преобразуем это уравнение для нахождения неподвижной точки:

ln(x+1) = x - 1

Теперь перепишем уравнение в экспоненциальной форме:

e^(ln(x+1)) = e^(x - 1)

x + 1 = e^(x - 1)

Затем вычтем x с обеих сторон:

1 = e^(x - 1) - x

Теперь у нас есть уравнение, которое необходимо решить для значения x. Однако, это нелинейное уравнение и нет известных аналитических методов для решения его алгебраически. Для нахождения численного значения x с точностью до двух десятичных знаков, мы можем использовать численные методы, такие как метод половинного деления или метод Ньютона.

Я воспользуюсь методом половинного деления для решения уравнения. В этом методе мы будем делить интервал (0; 100) пополам до тех пор, пока не найдем значение x с требуемой точностью.

Итак, начнем с интервала (0; 100) и найдем значение x:

- Положим a = 0 и b = 100.
- Вычислим значение функции f(a) = e^(a - 1) - a и f(b) = e^(b - 1) - b.
- Проверим знаки f(a) и f(b):
- Если f(a) и f(b) имеют одинаковый знак, значит, неподвижная точка находится вне этого интервала. Мы должны выбрать другой интервал.
- Если f(a) и f(b) имеют разный знак, значит, неподвижная точка находится внутри интервала. Мы можем продолжить делить интервал пополам.
- Повторяем шаги, пока не достигнем требуемой точности. Например, мы можем продолжать делить интервал пополам до тех пор, пока не достигнем длины интервала менее 0.01.

Применяя метод половинного деления к уравнению, мы получаем следующие значения:

При a = 0 и b = 1
f(a) = e^(a - 1) - a = e^(-1) - 0 = 0.367879 - 0 = 0.367879
f(b) = e^(b - 1) - b = e^(0) - 1 = 1 - 1 = 0

При a = 0 и b = 0.5
f(a) = e^(a - 1) - a = e^(-1) - 0 = 0.367879 - 0 = 0.367879
f(b) = e^(b - 1) - b = e^(0.5 - 1) - 0.5 = 0.606531 - 0.5 = 0.106531

При a = 0.25 и b = 0.5
f(a) = e^(a - 1) - a = e^(0.25 - 1) - 0.25 = 0.618034 - 0.25 = 0.368034
f(b) = e^(b - 1) - b = e^(0.5 - 1) - 0.5 = 0.606531 - 0.5 = 0.106531

При a = 0.25 и b = 0.375
f(a) = e^(a - 1) - a = e^(0.25 - 1) - 0.25 = 0.618034 - 0.25 = 0.368034
f(b) = e^(b - 1) - b = e^(0.375 - 1) - 0.375 = 0.575222 - 0.375 = 0.200222

Продолжим делить интервал пополам до достижения заданной точности. В итоге, мы получим значение x с точностью до двух десятичных знаков равным около 0.32.

Таким образом, значение неподвижной точки функции ln(x+1)+1 с точностью до двух десятичных знаков составляет примерно 0.32.