Какие значения переменной х должны быть такими, чтобы х²+8, х²+2 и 3х²-2 были последовательными членами геометрической

Ябеда

56

Чтобы определить значения переменной \(x\), при которых выражения \(x^2 + 8\), \(x^2 + 2\) и \(3x^2 - 2\) являются последовательными членами геометрической прогрессии, мы должны установить соотношение между этими членами.

В геометрической прогрессии каждый последующий член получается путем умножения предыдущего члена на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии. Знаменатель прогрессии обычно обозначается буквой \(q\).

Исходя из этого, мы можем записать следующее уравнение:
\[x^2 + 8 = (x^2 + 2) \cdot q\]
\[x^2 + 2 = (3x^2 - 2) \cdot q\]

Разрешим первое уравнение относительно \(q\):
\[q = \frac{{x^2 + 8}}{{x^2 + 2}}\]

Теперь подставим значение \(q\) во второе уравнение и решим его:
\[x^2 + 2 = (3x^2 - 2) \cdot \left(\frac{{x^2 + 8}}{{x^2 + 2}}\right)\]
\[x^2 + 2 = \frac{{(3x^2 - 2) \cdot (x^2 + 8)}}{{x^2 + 2}}\]
\[x^2 + 2 = \frac{{3x^4 + 22x^2 - 16}}{{x^2 + 2}}\]

Умножим обе части уравнения на \((x^2 + 2)\) чтобы убрать знаменатель:
\[(x^2 + 2) \cdot (x^2 + 2) = 3x^4 + 22x^2 - 16\]
\[x^4 + 4x^2 + 4 = 3x^4 + 22x^2 - 16\]

Перенесем все члены в одну сторону уравнения:
\[2x^4 + 18x^2 - 20 = 0\]

Теперь это квадратное уравнение относительно \(x^2\). Решим его, используя квадратное уравнение.

\[x^2 = \frac{{-18 \pm \sqrt{{18^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-20)}}}}{{2 \cdot 2}}\]
\[x^2 = \frac{{-18 \pm \sqrt{{400}}}}{{4}}\]
\[x^2 = \frac{{-18 \pm 20}}{{4}}\]

Разобьем полученное уравнение на два отдельных уравнения:
\[x^2 = \frac{{2}}{4} = \frac{{1}}{2}\] или \[x^2 = \frac{{-38}}{4} = \frac{{-19}}{2}\]

Поскольку \(x^2\) является квадратом числа, оно не может быть отрицательным. Таким образом, мы получаем два возможных значения для \(x\):

\[x^2 = \frac{{1}}{2} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}\]

Итак, значения переменной \(x\), при которых \(x^2 + 8\), \(x^2 + 2\) и \(3x^2 - 2\) являются последовательными членами геометрической прогрессии, равны \(\sqrt{\frac{1}{2}}\) и \(-\sqrt{\frac{1}{2}}\).