Каковы значения ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения для дискретной случайной величины с заданным

Sonya

13

Для решения этой задачи мы должны использовать следующие формулы:

Ожидание (математическое ожидание) случайной величины (X) вычисляется по формуле:

\[E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i\]

где \(x_i\) - значения случайной величины, \(p_i\) - вероятность каждого значения.

Дисперсия (Var(X)) случайной величины (X) вычисляется по формуле:

\[Var(X) = \sum_{i=1}^n (x_i - E(X))^2 \cdot p_i\]

Среднее квадратическое отклонение (σ) случайной величины (X) вычисляется по формуле:

\[\sigma = \sqrt{Var(X)}\]

Теперь, используя эти формулы, давайте вычислим значения ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения для данной дискретной случайной величины:

Значения случайной величины (X) представлены как \(е(4,6,10,12)\), а вероятности каждого значения представлены как \(р(0,4; 0,1; 0,2; 0,3)\).

Теперь вычислим ожидание (математическое ожидание):

\[E(X) = 4 \cdot 0.4 + 6 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2 + 12 \cdot 0.3\]

Давайте посчитаем:

\[E(X) = 1.6 + 0.6 + 2 + 3.6 = 8.8\]

Таким образом, ожидание (математическое ожидание) случайной величины (X) равно 8.8.

Теперь вычислим дисперсию:

\[Var(X) = (4 - 8.8)^2 \cdot 0.4 + (6 - 8.8)^2 \cdot 0.1 + (10 - 8.8)^2 \cdot 0.2 + (12 - 8.8)^2 \cdot 0.3\]

Посчитаем:

\[Var(X) = 18.24 \cdot 0.4 + 6.24 \cdot 0.1 + 0.64 \cdot 0.2 + 3.24 \cdot 0.3\]

\[Var(X) = 7.296 + 0.624 + 0.128 + 0.972 = 8.02\]

Таким образом, дисперсия случайной величины (X) равна 8.02.

Наконец, вычислим среднее квадратическое отклонение:

\[\sigma = \sqrt{Var(X)}\]

\[\sigma = \sqrt{8.02} \approx 2.83\]

Среднее квадратическое отклонение (σ) случайной величины (X) равно примерно 2.83.

Итак, значения ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения для данной дискретной случайной величины \(е(4,6,10,12)\) с вероятностями \(р(0,4; 0,1; 0,2; 0,3)\) равны соответственно: 8.8, 8.02 and 2.83.