Какие значения следует найти для площадей фигур, ограниченных графиками у = х2 + 4х + 10, х = 0 и касательной в точке

Космический_Астроном

39

Для начала, нам нужно найти точку, в которой касательная линия пересекает график функции.

Чтобы найти эту точку, нам понадобится первая производная функции. Для этого возьмем производную от \(y = x^2 + 4x + 10\):

\[y" = 2x + 4\]

Теперь нам нужно найти значение \(x\), при котором \(y"\) равно 0. Для этого приравняем \(2x + 4\) к нулю и решим полученное уравнение:

\[2x + 4 = 0\]

\[2x = -4\]

\[x = -2\]

Таким образом, касательная линия проходит через точку \((-2, f(-2))\), где \(f(x)\) - это наша исходная функция. Чтобы найти \(f(-2)\), мы можем подставить \(-2\) вместо \(x\) в уравнение графика функции:

\[f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 10\]

\[f(-2) = 4 - 8 + 10\]

\[f(-2) = 6\]

Таким образом, точка, в которой касательная линия пересекает график функции, равна \((-2, 6)\).

Теперь, для нахождения площади фигур, ограниченных графиками у = х2 + 4х + 10, х = 0 и касательной линией, нам нужно найти области, ограниченные этими границами.

Первая фигура ограничена графиком функции \(y = x^2 + 4x + 10\) и вертикальной линией \(x = 0\). Это означает, что мы ищем площадь между графиком функции и осью абсцисс на участке от \(-2\) до \(0\). Чтобы найти эту площадь, нам нужно интегрировать функцию \(y = x^2 + 4x + 10\) по переменной \(x\) на участке от \(-2\) до \(0\):

\[S_1 = \int_{-2}^{0} (x^2 + 4x + 10) dx\]

Вычислим это:

\[S_1 = \left[\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 10x\right]_{-2}^{0}\]

\[S_1 = \left(\frac{1}{3}(0)^3 + 2(0)^2 + 10(0)\right) - \left(\frac{1}{3}(-2)^3 + 2(-2)^2 + 10(-2)\right)\]

\[S_1 = \left(0 + 0 + 0\right) - \left(-\frac{8}{3} + 8 - 20\right)\]

\[S_1 = \left(\frac{8}{3} - 8 + 20\right)\]

\[S_1 = \frac{8}{3} - \frac{24}{3} + \frac{60}{3}\]

\[S_1 = \frac{44}{3}\]

Таким образом, площадь первой фигуры равна \(\frac{44}{3}\).

Вторая фигура ограничена графиками \(y = x^2 + 4x + 10\), \(x = -2\) и касательной линией. Это означает, что мы ищем площадь между графиком функции, касательной линией и двумя вертикальными линиями \(x = -2\) и \(x = 0\). Чтобы найти эту площадь, нам нужно вычислить площадь первой фигуры и вычесть из нее площадь треугольника, образованного касательной линией и вертикальными линиями \(x = -2\) и \(x = 0\).

Площадь треугольника можно найти используя формулу для площади треугольника: \(S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\). В данном случае, основание треугольника равно \(2\) (расстояние между \(-2\) и \(0\)), а высота равна \(6\) (разница между координатами по оси ординат точек \((-2, 6)\) и \((0, 0)\)).

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times 2 \times 6\]

\[S_{\text{треугольника}} = 6\]

Теперь мы можем вычислить площадь второй фигуры, вычтя площадь треугольника из площади первой фигуры:

\[S_2 = S_1 - S_{\text{треугольника}}\]

\[S_2 = \frac{44}{3} - 6\]

\[S_2 = \frac{44}{3} - \frac{18}{3}\]

\[S_2 = \frac{26}{3}\]

Таким образом, площадь второй фигуры равна \(\frac{26}{3}\).

Итак, значения площадей фигур, ограниченных графиками \(y = x^2 + 4x + 10\), \(x = 0\) и касательной линией, равны \(\frac{44}{3}\) и \(\frac{26}{3}\) соответственно.