What are the values of x and y if QR = 13, QM = x, RM = y, and R = 80°?

  • 44
What are the values of x and y if QR = 13, QM = x, RM = y, and R = 80°?
Magicheskiy_Edinorog
57
Для решения этой задачи нам потребуется применить теорему синусов. Вспомним, что теорема синусов утверждает следующее:

asin(A)=bsin(B)=csin(C)

где a, b и c - длины сторон треугольника ABC, а A, B и C - соответствующие им углы.

В данной задаче у нас имеется треугольник QMR, в котором известны следующие значения:
QR = 13,
QM = x,
RM = y,
R = 80°.

Мы можем применить теорему синусов к данному треугольнику, используя стороны QR и RM, а также угол R.

QRsin(Q)=RMsin(R)

Подставим значения из условия задачи:

13sin(Q)=ysin(80°)

Мы также можем применить теорему синусов к треугольнику QMR, используя стороны QM и RM, а также угол в вершине Q:

QMsin(Q)=RMsin(M)

Подставим значения из условия:

xsin(Q)=ysin(180°RQ)

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то:

M=180°RQ

Объединим оба уравнения, чтобы найти значения x и y:

13sin(Q)=ysin(80°)=xsin(Q)=ysin(180°RQ)

Теперь мы можем решить систему уравнений, полученную из теоремы синусов. Разделим первое равенство на второе:

13sin(Q)÷xsin(Q)=ysin(80°)÷ysin(180°RQ)

Упростим выражение:

13x=sin(180°RQ)sin(80°)

Мы знаем, что sin(180°RQ)=sin(R+Q) и sin(80°)=sin(180°R). Подставим эти значения:

13x=sin(R+Q)sin(180°R)

После этого можно переставить части равенства и решить уравнение относительно x:

x=13sin(180°R)sin(R+Q)

Подставим значение угла R:

x=13sin(180°80°)sin(80°+Q)

Вычислим значения sin(180° - 80°) и sin(80° + \angle Q) и получим:

x=13sin(100°)sin(80°+Q)

Аналогичным образом, решим уравнение относительно y:

y=13sin(80°)sin(R+Q)

Подставим значение угла R:

y=13sin(80°)sin(80°+Q)