What are the values of x and y if QR = 13, QM = x, RM = y, and R = 80°?

Magicheskiy_Edinorog

57

Для решения этой задачи нам потребуется применить теорему синусов. Вспомним, что теорема синусов утверждает следующее:

\[\frac{a}{\sin(\angle A)} = \frac{b}{\sin(\angle B)} = \frac{c}{\sin(\angle C)}\]

где a, b и c - длины сторон треугольника ABC, а \(\angle A\), \(\angle B\) и \(\angle C\) - соответствующие им углы.

В данной задаче у нас имеется треугольник QMR, в котором известны следующие значения:
QR = 13,
QM = x,
RM = y,
R = 80°.

Мы можем применить теорему синусов к данному треугольнику, используя стороны QR и RM, а также угол R.

\[\frac{QR}{\sin(\angle Q)} = \frac{RM}{\sin(\angle R)}\]

Подставим значения из условия задачи:

\[\frac{13}{\sin(\angle Q)} = \frac{y}{\sin(80°)}\]

Мы также можем применить теорему синусов к треугольнику QMR, используя стороны QM и RM, а также угол в вершине Q:

\[\frac{QM}{\sin(\angle Q)} = \frac{RM}{\sin(\angle M)}\]

Подставим значения из условия:

\[\frac{x}{\sin(\angle Q)} = \frac{y}{\sin(180° - \angle R - \angle Q)}\]

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то:

\[\angle M = 180° - \angle R - \angle Q\]

Объединим оба уравнения, чтобы найти значения x и y:

\[\frac{13}{\sin(\angle Q)} = \frac{y}{\sin(80°)} = \frac{x}{\sin(\angle Q)} = \frac{y}{\sin(180° - \angle R - \angle Q)}\]

Теперь мы можем решить систему уравнений, полученную из теоремы синусов. Разделим первое равенство на второе:

\[\frac{13}{\sin(\angle Q)} \div \frac{x}{\sin(\angle Q)} = \frac{y}{\sin(80°)} \div \frac{y}{\sin(180° - \angle R - \angle Q)}\]

Упростим выражение:

\[\frac{13}{x} = \frac{\sin(180° - \angle R - \angle Q)}{\sin(80°)}\]

Мы знаем, что \(\sin(180° - \angle R - \angle Q) = \sin(\angle R + \angle Q)\) и \(\sin(80°) = \sin(180° - \angle R)\). Подставим эти значения:

\[\frac{13}{x} = \frac{\sin(\angle R + \angle Q)}{\sin(180° - \angle R)}\]

После этого можно переставить части равенства и решить уравнение относительно x:

\[x = \frac{13 \cdot \sin(180° - \angle R)}{\sin(\angle R + \angle Q)}\]

Подставим значение угла R:

\[x = \frac{13 \cdot \sin(180° - 80°)}{\sin(80° + \angle Q)}\]

Вычислим значения sin(180° - 80°) и sin(80° + \angle Q) и получим:

\[x = \frac{13 \cdot \sin(100°)}{\sin(80° + \angle Q)}\]

Аналогичным образом, решим уравнение относительно y:

\[y = \frac{13 \cdot \sin(80°)}{\sin(\angle R + \angle Q)}\]

Подставим значение угла R:

\[y = \frac{13 \cdot \sin(80°)}{\sin(80° + \angle Q)}\]