Какие значения x и y соответствуют условным экстремумам функции z = x+2y, при условии x^2+y^2=5?

Skolzyaschiy_Tigr

10

Чтобы найти значения x и y, соответствующие условным экстремумам функции \(z = x + 2y\) при условии \(x^2 + y^2 = 5\), мы можем воспользоваться методом множителей Лагранжа. Этот метод позволяет найти такие значения переменных, где функция достигает экстремума при заданных условиях.

Для начала введем множитель Лагранжа, обозначим его как \(λ\). Изменим функцию \(z\) с учетом множителя Лагранжа:

\[F(x, y, λ) = x + 2y + λ(x^2 + y^2 - 5)\]

Теперь найдем частные производные \(F\) по \(x\), \(y\) и \(λ\):

\[\frac{{∂F}}{{∂x}} = 1 + 2λx\]
\[\frac{{∂F}}{{∂y}} = 2 + 2λy\]
\[\frac{{∂F}}{{∂λ}} = x^2 + y^2 - 5\]

Для нахождения условных экстремумов нужно приравнять нулю все три частные производные:

\[1 + 2λx = 0\]
\[2 + 2λy = 0\]
\[x^2 + y^2 - 5 = 0\]

Далее решим эту систему уравнений. Рассмотрим первое уравнение:

\[1 + 2λx = 0\]

Из него получаем, что \(x = -\frac{1}{{2λ}}\). Подставим это значение во второе уравнение:

\[2 + 2λy = 0\]

Получим \(y = -\frac{1}{{2λ}}\).

Теперь подставим значения \(x\) и \(y\) в третье уравнение и решим его:

\[\left(-\frac{1}{{2λ}}\right)^2 + \left(-\frac{1}{{2λ}}\right)^2 - 5 = 0\]

\[\frac{1}{{4λ^2}} + \frac{1}{{4λ^2}} - 5 = 0\]

\[\frac{1}{{2λ^2}} - 5 = 0\]

\[\frac{1}{{2λ^2}} = 5\]

\[λ^2 = \frac{1}{10}\]

Из этого получаем, что \(λ = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}\).

Теперь найдем значения \(x\) и \(y\) с использованием найденных значений \(λ\):

\[x = -\frac{1}{{2λ}} = -\frac{\sqrt{10}}{2}\]
\[y = -\frac{1}{{2λ}} = -\frac{\sqrt{10}}{2}\]

Таким образом, значения \(x\) и \(y\), соответствующие условным экстремумам функции \(z = x + 2y\) при условии \(x^2 + y^2 = 5\), равны \(x = -\frac{\sqrt{10}}{2}\) и \(y = -\frac{\sqrt{10}}{2}\).

Обоснование:
При использовании метода множителей Лагранжа мы вводим множитель Лагранжа, чтобы свести задачу поиска условных экстремумов к решению системы уравнений. Решив данную систему, мы находим значения переменных \(x\) и \(y\), при которых функция \(z = x + 2y\) достигает экстремальных значений при заданном условии \(x^2 + y^2 = 5\). В данном случае, получаем значения \(x = -\frac{\sqrt{10}}{2}\) и \(y = -\frac{\sqrt{10}}{2}\), что является точкой условного экстремума функции \(z\) при заданном условии.