Какие значения x и y точки, находящейся на пересечении графиков уравнений х^2+у^2=25 и 3у=-4х?

Ячмень

4

Для решения задачи о нахождении точки пересечения графиков уравнений \(x^2 + y^2 = 25\) и \(3y = -4x\), мы должны найти значения \(x\) и \(y\), при которых оба уравнения выполняются одновременно.
Давайте начнем с уравнения \(3y = -4x\) и найдем выражение для \(y\):

\[y = \frac{-4}{3}x\]

Теперь заменим \(y\) в уравнении \(x^2 + y^2 = 25\) наше выражение:

\[x^2 + \left(\frac{-4}{3}x\right)^2 = 25\]

Возведем в квадрат:

\[x^2 + \frac{16}{9}x^2 = 25\]

Общих знаменателей нет, поэтому сложим дроби:

\[\left(1 + \frac{16}{9}\right)x^2 = 25\]

Упростим выражение:

\[\frac{25}{9}x^2 = 25\]

Теперь умножим обе части уравнения на \(\frac{9}{25}\):

\[x^2 = 9\]

Чтобы найти \(x\), возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[x = \pm 3\]

Теперь мы найдем соответствующие значения \(y\) для каждого значения \(x\), используя уравнение \(y = \frac{-4}{3}x\):

Для \(x = 3\):

\[y = \frac{-4}{3} \times 3 = -4\]

Таким образом, первая точка пересечения графиков имеет координаты (3, -4).

Для \(x = -3\):

\[y = \frac{-4}{3} \times -3 = 4\]

Таким образом, вторая точка пересечения графиков имеет координаты (-3, 4).

В итоге, значения \(x\) и \(y\) точки, находящейся на пересечении графиков уравнений, равны:

(3, -4) и (-3, 4).