Какие значения x и y удовлетворяют следующим условиям: 1. 3⋅i→+y⋅j→=5⋅j→+x⋅i→; x

Kosmicheskiy_Puteshestvennik_3469

53

Давайте решим данную задачу. У нас есть равенство векторов \(3\cdot\mathbf{i} + y\cdot\mathbf{j} = 5\cdot\mathbf{j} + x\cdot\mathbf{i}\).

Для начала, давайте разделим векторы на компоненты. По определению единичных векторов \(\mathbf{i}\) и \(\mathbf{j}\), получаем следующее:

\[
\begin{align*}
3\cdot\mathbf{i} &= (3, 0) \\
y\cdot\mathbf{j} &= (0, y) \\
5\cdot\mathbf{j} &= (0, 5) \\
x\cdot\mathbf{i} &= (x, 0)
\end{align*}
\]

Теперь, заменим векторы на их координаты в нашем равенстве:

\[
(3, 0) + (0, y) = (0, 5) + (x, 0)
\]

Теперь, объединим соответствующие компоненты для левой и правой части уравнения:

\[
(3 + 0, 0 + y) = (0 + x, 5 + 0)
\]

Приведя подобные слагаемые, получаем:

\[
(3, y) = (x, 5)
\]

Теперь, сравним соответствующие компоненты. Из этих компонент, мы можем составить следующую систему уравнений:

\[
\begin{align*}
3 &= x \\
y &= 5
\end{align*}
\]

Ответом на задачу являются значения \(x = 3\) и \(y = 5\).

Оригинальная система векторных уравнений имеет решение, если компоненты векторов равны между собой. В данном случае, равенство выполняется при \(x = 3\) и \(y = 5\).