Какие значения x удовлетворяют неравенству log2x-25logx2≤10?

Мартышка

1

Давайте решим эту задачу по шагам. Итак, у нас есть неравенство \(\log_{2}x-25\log_{x}2 \leq 10\). Для начала, упростим его.

Поскольку \(\log_{x}2 = \frac{1}{\log_{2}x}\) (это одно из свойств логарифма), мы можем записать неравенство в следующем виде:

\(\log_{2}x - \frac{25}{\log_{2}x} \leq 10\)

Далее, введем новую переменную, например, пусть \(t = \log_{2}x\). Это позволит нам упростить выражение еще больше:

\(t - \frac{25}{t} \leq 10\)

Теперь у нас линейное неравенство, которое можно решить. Домножим все части на \(t\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(t^2 - 10t - 25 \leq 0\)

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Для этого воспользуемся дискриминантом.

Дискриминант \(D\) равен \(b^2 - 4ac\), где в нашем случае \(a = 1\), \(b = -10\), \(c = -25\).

\(D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 100 + 100 = 200\)

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня. Используя формулу корней, получим:

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(t_{1} = \frac{-(-10) + \sqrt{200}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + \sqrt{200}}{2} = \frac{10 + 10 \sqrt{2}}{2} = 5 + 5\sqrt{2}\)

\(t_{2} = \frac{-(-10) - \sqrt{200}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - \sqrt{200}}{2} = \frac{10 - 10\sqrt{2}}{2} = 5 - 5\sqrt{2}\)

Теперь, чтобы найти значения \(x\), мы должны решить уравнение \(t = \log_{2}x\) для каждого корня.

Для первого корня \(t = 5 + 5\sqrt{2}\), поэтому:

\(\log_{2}x = 5 + 5\sqrt{2}\)

Чтобы избавиться от логарифма, возведем обе стороны в степень основания логарифма, в данном случае возведем их в степень 2:

\(x = 2^{5 + 5\sqrt{2}}\)

Таким же образом, для второго корня \(t = 5 - 5\sqrt{2}\), мы имеем:

\(x = 2^{5 - 5\sqrt{2}}\)

Итак, значения \(x\), удовлетворяющие исходному неравенству, равны \(x = 2^{5 + 5\sqrt{2}}\) и \(x = 2^{5 - 5\sqrt{2}}\).