Какие значения x являются точками экстремума функции f(x) = x^4 - 8x^2

Добрая_Ведьма

36

Для нахождения точек экстремума функции \( f(x) = x^4 - 8x^2 \) необходимо найти моменты, в которых производная функции равна нулю или не определена.

1. Найдем производную функции \( f(x) \):
\[ f"(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 8x^2) \]

Для вычисления производной этой функции, мы можем использовать правила дифференцирования. Применяем правило для производной степенной функции:
\[ (x^n)" = n \cdot x^{n-1} \]

Применяем это правило для каждого слагаемого в функции \( f(x) \):
\[ f"(x) = \frac{d}{dx}(x^4) - \frac{d}{dx}(8x^2) \]

\[ f"(x) = 4x^3 - 16x \]

2. Теперь для нахождения точек экстремума, приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\[ 4x^3 - 16x = 0 \]

Факторизуем это уравнение:
\[ 4x(x^2 - 4) = 0 \]

Раскроем скобку:
\[ 4x(x - 2)(x + 2) = 0 \]

Теперь мы имеем три критические точки, в которых производная функции равна нулю: \( x = 0, x = -2, x = 2 \).

3. Чтобы определить, какие из этих точек являются точками экстремума, мы можем построить таблицу знаков первой производной на интервалах между критическими точками:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & x < -2 & -2 < x < 0 & 0 < x < 2 & x > 2 \\
\hline
f"(x) & - & + & - & + \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы знаков можно сделать следующие выводы:

- На интервале \( x < -2 \) производная \( f"(x) \) отрицательна, что означает, что функция убывает на этом интервале.
- На интервале \( -2 < x < 0 \) производная \( f"(x) \) положительна, что означает, что функция возрастает на этом интервале.
- На интервале \( 0 < x < 2 \) производная \( f"(x) \) отрицательна, что означает, что функция убывает на этом интервале.
- На интервале \( x > 2 \) производная \( f"(x) \) положительна, что означает, что функция возрастает на этом интервале.

Таким образом, на основании изменения знака производной, мы можем сделать вывод, что точки \( x = -2 \) и \( x = 2 \) являются точками экстремума. Они соответствуют локальному минимуму и локальному максимуму функции \( f(x) = x^4 - 8x^2 \) соответственно. Точка \( x = 0 \) не является точкой экстремума, а является точкой перегиба функции.

Таким образом, значениями \( x \), являющимися точками экстремума функции \( f(x) = x^4 - 8x^2 \), являются \( x = -2 \) (локальный максимум) и \( x = 2 \) (локальный минимум).