Каким образом можно привести дроби 2v/u2+2uv, v/uz−5u2 и z+10v/uz+2vz−10uv−5u2 к общему знаменателю?

Пижон

63

Для приведения дробей к общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей каждой дроби. Затем дроби умножаются на такие дополнительные множители, чтобы знаменатель каждой дроби стал равным общему знаменателю.

Давайте разберём данную задачу пошагово:

1. Найдём НОК знаменателей каждой дроби.
Знаменатели дробей: u^2+2uv, uz-5u^2 и uz+2vz-10uv-5u^2.
Разложим каждый знаменатель на простые множители:

\[
u^2 + 2uv = u(u + 2v) \quad (1)
\]

\[
uz - 5u^2 = u(z - 5u) \quad (2)
\]

\[
uz + 2vz - 10uv - 5u^2 = u(z + 2v) - 5u(u + 2v) \quad (3)
\]

Теперь заметим, что НОК знаменателей равен произведению всех простых множителей, встречающихся в разложении (1), (2) и (3) в наибольших степенях:

НОК: u(u + 2v)(z - 5u)(z + 2v) \quad (4)

2. Умножим каждую исходную дробь на недостающие множители знаменателей до достижения общего знаменателя НОК.

Для первой дроби:

\[
\frac{2v}{u^2+2uv} \times \frac{(z - 5u)(z + 2v)}{(z - 5u)(z + 2v)}
\]

\[
= \frac{2v(z - 5u)(z + 2v)}{u(u + 2v)(z - 5u)(z + 2v)}
\]

Для второй дроби:

\[
\frac{v}{uz-5u^2} \times \frac{u(u + 2v)(z - 5u)}{u(u + 2v)(z - 5u)}
\]

\[
= \frac{vu(u + 2v)(z - 5u)}{u(u + 2v)(z - 5u)(z + 2v)}
\]

Для третьей дроби:

\[
\frac{z+10v}{uz+2vz-10uv-5u^2} \times \frac{u(u + 2v)(z - 5u)}{u(u + 2v)(z - 5u)}
\]

\[
= \frac{(z + 10v)u(u + 2v)(z - 5u)}{u(u + 2v)(z - 5u)(z + 2v)}
\]

Теперь все дроби имеют общий знаменатель НОК.

Окончательно, приведённые дроби равны:

1. \(\frac{2v(z - 5u)(z + 2v)}{u(u + 2v)(z - 5u)(z + 2v)}\)
2. \(\frac{vu(u + 2v)(z - 5u)}{u(u + 2v)(z - 5u)(z + 2v)}\)
3. \(\frac{(z + 10v)u(u + 2v)(z - 5u)}{u(u + 2v)(z - 5u)(z + 2v)}\)

Надеюсь, это решение понятно и поможет вам понять, как привести данные дроби к общему знаменателю.