Каким образом можно решить дифференциальное уравнение 1-го порядка, tg t dt + ds s

Алекс

70

Для решения данного дифференциального уравнения первого порядка \( \tan(t)dt + ds = 0 \) мы можем использовать метод разделяющихся переменных. Давайте разберемся в каждом шаге.

Шаг 1: Разделяем переменные

Сначала мы разделяем переменные, перемещая все члены, содержащие \( dt \) в одну сторону, а все члены, содержащие \( ds \), в другую сторону. Таким образом, у нас получается следующее:

\( \tan(t)dt = -ds \)

Шаг 2: Интегрируем обе стороны

Теперь мы проинтегрируем обе стороны уравнения по соответствующим переменным. Для левой стороны мы можем использовать замену \(\tan(t) = \frac{{\sin(t)}}{{\cos(t)}}\) и подставить вместо \(\tan(t)\) новые переменные -\(\frac{du}{u}\) и \(\frac{dv}{v}\) для каждого слагаемого. Получаем:

\(\int \frac{{\sin(t)}}{{\cos(t)}} dt = -\int ds\)

Интеграл от \(\frac{{\sin(t)}}{{\cos(t)}}\) можно найти с помощью метода замены переменных. Обозначим \( u = \cos(t) \), тогда \( du = -\sin(t)dt \). Подставляем и получаем:

\(-\int \frac{1}{u}du = -\ln|u| + C_1\)

где \( C_1 \) - постоянная интегрирования.

Теперь интегрируем правую сторону. Интеграл от другой переменной \( ds \) равен просто \( s + C_2 \), где \( C_2 \) - еще одна постоянная интегрирования. Теперь наше уравнение выглядит следующим образом:

\(-\ln|u| + C_1 = s + C_2\)

Шаг 3: Находим общее решение

Объединяем постоянные интегрирования в одну \( C = C_2 - C_1 \), и получаем следующее уравнение:

\(-\ln|u| = s + C\)

Шаг 4: Избавляемся от переменной \( u \)

Мы знаем, что \( u = \cos(t) \), поэтому можно подставить это обратно:

\(-\ln|\cos(t)| = s + C\)

Шаг 5: Находим окончательное решение

Чтобы найти окончательное решение, мы можем экспоненцировать обе стороны уравнения:

\(e^{-\ln|\cos(t)|} = e^{s + C}\)

\(e^{-\ln|\cos(t)|} = e^{s} \cdot e^{C}\)

Используя свойства логарифмов и экспоненты, получаем:

\(|\cos(t)| = \frac{e^{s} \cdot e^{C}}{e}\)

Теперь разберемся с абсолютным значением |cos(t)|.

Так как \(\cos(t)\) ограничен на интервале \([-1,1]\), то \(|\cos(t)| = \cos(t)\) для \(t \in [0, \pi]\).

Таким образом, окончательное решение имеет вид:

\(\cos(t) = \frac{e^{s} \cdot e^{C}}{e}\)

Мы учли, что это решение верно только для \(t \in [0, \pi]\). Если требуется решение для другого интервала, пожалуйста, уточните его.