Каким образом можно решить уравнение Cos² (5π/6 + x) = Cos² (5π/6 - x), используя методы понижения степени, суммы

Ангелина

3

Хорошо, давайте решим данное уравнение пошагово, используя методы понижения степени, суммы и разности косинусов и синусов.

Имеем уравнение:
\[
\cos^2\left(\frac{5\pi}{6} + x\right) = \cos^2\left(\frac{5\pi}{6} - x\right)
\]

1. Применим формулу суммы косинусов: \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\) для левой части уравнения.
\[
\cos^2\left(\frac{5\pi}{6} + x\right) = \left(\cos\frac{5\pi}{6}\cos x - \sin\frac{5\pi}{6}\sin x\right)^2
\]

2. Выразим значения \(\cos\frac{5\pi}{6}\) и \(\sin\frac{5\pi}{6}\):
\[
\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin\frac{5\pi}{6} = -\frac{1}{2}
\]

3. Подставим полученные значения в уравнение:
\[
\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x\right)^2 = \cos^2\left(\frac{5\pi}{6} - x\right)
\]

4. Применим формулу разности косинусов: \(\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\) для правой части уравнения.
\[
\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x\right)^2 = \left(\cos\frac{5\pi}{6}\cos(-x) + \sin\frac{5\pi}{6}\sin(-x)\right)^2
\]

5. Используем тригонометрическую формулу:
\[
\cos(-x) = \cos x, \quad \sin(-x) = -\sin x
\]

6. Подставим значения в уравнение:
\[
\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x\right)^2 = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x\right)^2
\]

7. Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:
\[
\frac{3}{4}\cos^2 x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x \cos x + \frac{1}{4}\sin^2 x = \frac{3}{4}\cos^2 x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x \cos x + \frac{1}{4}\sin^2 x
\]

8. Сократим одинаковые слагаемые и получим:
\[
-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x \cos x
\]

9. Так как полученная равность верна для любого значения угла \(x\), то решение уравнения - это все значения \(x\), для которых равенство выполняется:
\[
\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x \cos x = 0
\]

10. Для получения всех решений, учтем, что \(\sin x = 0\) при \(x = 0, \pi, 2\pi, \ldots\) и \(\cos x = 0\) при \(x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \ldots\)

Таким образом, все решения исходного уравнения \(\cos^2\left(\frac{5\pi}{6} + x\right) = \cos^2\left(\frac{5\pi}{6} - x\right)\) будут состоять из всех углов \(x\), где \(\sin x = 0\) и \(\cos x = 0\).