Каким образом можно выбрать несколько узлов на клетчатой плоскости так, чтобы количество хороших троек, в которые

Алексей

53

Чтобы решить данную задачу, нужно разобраться в определении "хорошей тройки" и понять, какие свойства она имеет.

Хорошая тройка - это тройка узлов на клетчатой плоскости, удовлетворяющая двум условиям:
1. Каждые два узла этой тройки соединены отрезком, не параллельным осям координат.
2. Центр масс тройки совпадает с точкой пересечения отрезков, соединяющих каждый узел с другими двумя узлами тройки.

Давайте посмотрим на пример. Предположим, у нас есть клетчатая плоскость с узлами A, B, C, D, E и F:

  F      B    E

     ───┼───

     ───┼───

  D      A    C

Последовательно соединим узлы, образуя тройки:

1. Тройка A, B, C. Линия АС параллельна оси координат, поэтому не является хорошей тройкой.
2. Тройка A, B, D. Линия АD не параллельна осям координат, но центр масс этой тройки не совпадает с точкой пересечения отрезков, соединяющих каждый узел с другими двумя узлами тройки. Поэтому и эта тройка не является хорошей.
3. Тройка A, B, E. Линия АE не параллельна осям координат и центр масс тройки совпадает с точкой пересечения отрезков AB и BE. Это значит, что тройка ABE является хорошей.

Количество хороших троек для каждого узла можно определить следующим образом:
- Узел B имеет 2 хорошие тройки (ABE и ABC).
- Узел A имеет 1 хорошую тройку (ABE).
- Узел E имеет 1 хорошую тройку (ABE).
- Узел C не имеет хороших троек.
- Узел D не имеет хороших троек.
- Узел F не имеет хороших троек.

Теперь вернемся к задаче. Нам нужно выбрать несколько узлов так, чтобы количество хороших троек, в которые входит каждый из них, было одинаково и превышало число хороших троек.

Давайте рассмотрим пустое множество и будем последовательно добавлять в него узлы, начиная с узла C. Посмотрим на количество хороших троек для каждого узла при добавлении:

- При добавлении узла C количество хороших троек не изменится.
- При добавлении узла D количество хороших троек не изменится.
- При добавлении узла F количество хороших троек не изменится.

Теперь рассмотрим последовательность добавления узлов B, E, A:

- При добавлении узла B количество хороших троек узла C увеличится на 1 (теперь узел C будет считать тройку ABC хорошей, так как тройка ABE уже была рассмотрена).
- При добавлении узла E количество хороших троек узлов C и B увеличится на 1 (теперь узлы B и C будут считать тройку ABE хорошей).
- При добавлении узла A количество хороших троек всех узлов (C, B, E) увеличится на 1 (теперь тройка ABE станет хорошей для всех трех узлов).

Таким образом, выбрав узлы B, E и A, мы получим одинаковое количество хороших троек у каждого узла, которое также превышает число хороших троек (3 тройки).

Описанный выше алгоритм можно обобщить для любого набора узлов на клетчатой плоскости. Если мы выберем \(n\) узлов (где \(n>3\)), количество хороших троек каждого узла будет равняться \(n-1\), и каждая узловая тройка будет считаться хорошей.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как выбрать несколько узлов на клетчатой плоскости так, чтобы количество хороших троек, в которые входит каждый из них, было одинаково и превышало число хороших троек. Если Вам нужен более подробный пример или какие-либо дополнительные пояснения, пожалуйста, сообщите мне!