Какое будет смещение бруска после абсолютно упругого столкновения, если его силу трения скольжения с хорошо применимой

Martyshka

62

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с анализа сохранения импульса и энергии при абсолютно упругом столкновении.

Пусть \(v_1\) - скорость бруска до столкновения, \(v_2\) - скорость бруска после столкновения, \(v_3\) - скорость тела после столкновения, \(m_1\) - масса бруска, \(m_2\) - масса тела.

Первое, что нам нужно сделать, это найти скорости после столкновения для бруска и тела, используя законы сохранения импульса и энергии.

Сохранение импульса:
\[m_1v_1 + m_2v_1 = m_1v_2 + m_2v_3\]

Сохранение энергии:
\[\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_1^2 = \frac{1}{2}m_1v_2^2 + \frac{1}{2}m_2v_3^2\]

Используя эти два уравнения, мы можем решить систему уравнений и найти значения \(v_2\) и \(v_3\).

Сначала рассмотрим сохранение импульса:
\[m_1v_1 + m_2v_1 = m_1v_2 + m_2v_3\]

Мы знаем, что \(m_1 = 2.2 \, \text{кг}\), \(m_2 = 1.1 \, \text{кг}\), \(v_1 = 0\), так как брусок изначально неподвижен. Подставляя эти значения, получаем:
\[1.1 \cdot 0 + 2.2 \cdot 0 = 2.2 \cdot v_2 + 1.1 \cdot v_3\]

Упрощая это уравнение, получаем:
\[0 = 2.2 \cdot v_2 + 1.1 \cdot v_3 \quad (1)\]

Теперь рассмотрим сохранение энергии:
\[\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_1^2 = \frac{1}{2}m_1v_2^2 + \frac{1}{2}m_2v_3^2\]

Подставляя значения и упрощая, получаем:
\[0 + 0 = \frac{1}{2} \cdot 2.2 \cdot v_2^2 + \frac{1}{2} \cdot 1.1 \cdot v_3^2 \quad (2)\]

Вспомним, что перед абсолютно упругим столкновением тело отводится в сторону, чтобы нить образовывала угол \(\alpha = 60^{\circ}\) с вертикалью, и отпускается. Это означает, что потенциальная энергия тела превращается в его кинетическую энергию после столкновения. Мы можем использовать это знание для нахождения значения \(v_3\).

При движении в вертикальном направлении, потенциальная энергия равна \(mgh\), где \(m\) - масса тела, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота подъема тела перед столкновением. В данном случае, \(h\) равно длине нити \(\delta l = 45 \, \text{см} = 0.45 \, \text{м}\).

Поэтому, \(mgh\) превращается в \(\frac{1}{2}mv_3^2\) после столкновения. Подставляя значения, получаем:
\[mgh = \frac{1}{2}mv_3^2\]
\[1.1 \cdot 9.8 \cdot 0.45 = \frac{1}{2} \cdot 1.1 \cdot v_3^2\]

Упрощая это уравнение, находим значение \(v_3\):
\[v_3 = \sqrt{9.8 \cdot 0.45 \cdot 2} \approx 3.143 \, \text{м/с} \quad (3)\]

Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными (\(v_2\) и \(v_3\)). Мы можем решить эту систему уравнений, подставив значение \(v_3\) из уравнения (3) в уравнение (1) и решив его относительно \(v_2\).

Таким образом, подставляя значения и решая, получаем:
\[0 = 2.2 \cdot v_2 + 1.1 \cdot 3.143\]
\[v_2 = \frac{-1.1 \cdot 3.143}{2.2} \approx -1.578 \, \text{м/с}\]

Отрицательный знак означает, что брусок движется в противоположном направлении.

Теперь, зная значение \(v_2\), мы можем найти смещение бруска после столкновения. Это можно сделать, используя уравнение движения:
\[s = v_2t\]

В данном случае, время \(t\) равно времени, за которое нить достигает вертикального положения после отпускания тела.
\[t = \frac{\delta l}{v_3 \sin(\alpha)}\]

Подставляя значения и решая, получаем:
\[t = \frac{0.45}{3.143 \cdot \sin(60^{\circ})} \approx 0.163 \, \text{с}\]

Теперь мы можем найти смещение бруска:
\[s = -1.578 \cdot 0.163 \approx -0.257 \, \text{м}\]

Ответ: Смещение бруска после абсолютно упругого столкновения составит примерно -0.257 метра.