Какое было начальное давление газа, если в результате изометрического расширения одной моля идеального газа

Yaguar

61

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон сохранения энтропии. Согласно этому закону, изменение энтропии (\(\Delta S\)) равняется отношению переданного тепла (\(Q\)) к температуре (\(T\)), при которой это изменение произошло. Формула для этого выглядит следующим образом:

\[\Delta S = \frac{Q}{T} \hspace{20pt} (1)\]

Поскольку у нас изометрическое расширение газа, то объем (\(V\)) остается постоянным, и работа (\(W\)), совершаемая газом, равна нулю. Тогда можем записать второй закон термодинамики:

\[\Delta S = \int{\frac{dQ}{T}} \hspace{20pt} (2)\]

Так как процесс происходит изотермически, то температура газа также не меняется и она константа. Поэтому мы можем вынести ее за знак интеграла:

\[\Delta S = \frac{1}{T}\int{dQ} \hspace{20pt} (3)\]

Для изотермического процесса изменение внутренней энергии (\(\Delta U\)) также равно нулю, поэтому справедливо равенство:

\[\Delta U = \Delta Q + \Delta W = 0 \hspace{20pt} (4)\]

Теперь мы можем определить связь между работой (\(W\)) и теплотой (\(Q\)) в процессе изотермического расширения. Для идеального газа это выражение выглядит следующим образом:

\[W = -\int P dV \hspace{20pt} (5)\]

Так как процесс изотермический, мы можем заменить уравнение состояния для идеального газа:

\[PV = nRT \hspace{20pt} (6)\]

Из уравнения (6) мы можем выразить давление (\(P\)):

\[P = \frac{nRT}{V} \hspace{20pt} (7)\]

Подставим это выражение в уравнение (5):

\[W = -nRT\int{\frac{dV}{V}} \hspace{20pt} (8)\]

Интегрируя это уравнение, получим:

\[W = -nRT\ln{(V_f/V_i)} \hspace{20pt} (9)\]

В уравнении (9) \(V_f\) обозначает конечный объем, а \(V_i\) обозначает начальный объем. Если мы считаем, что \(V_f > V_i\), то значит газ расширяется и работа будет отрицательной.

Теперь мы можем сопоставить уравнение (1) с уравнением (3), зная, что температура не меняется:

\[\frac{1}{T}\int{dQ} = \frac{Q}{T} = \Delta S \hspace{20pt} (10)\]

Теперь мы уже можем записать уравнение для начального давления газа. Если мы объединим уравнения (9) и (10), получим:

\[\Delta S = -nR\ln{(V_f/V_i)} \hspace{20pt} (11)\]

Где \(n\) - количество молей газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная. Зная из условия задачи, что \(\Delta S = 8.31 \, \text{дж/к}\) и конечное давление \(P_f\), мы можем решить это уравнение относительно \(V_i\):

\[8.31 = -nR\ln{(V_f/V_i)} \hspace{20pt} (12)\]

Теперь, если мы решим это уравнение относительно \(V_i\), мы сможем найти начальный объем газа. Зная начальный объем и конечное давление, мы можем использовать уравнение состояния (6) и выразить начальное давление.