Какое целое число М является наибольшим таким

Пчелка

24

Задача состоит в поиске наибольшего целого числа М, удовлетворяющего неравенству \(M < \frac{{M+1}}{{M+2}}\).

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим неравенство и постепенно приведем его к более простому виду, используя алгебраические операции.

\[
M < \frac{{M+1}}{{M+2}}
\]

Приведем дробь к общему знаменателю:

\[
M(M+2) < M+1
\]

Раскроем скобки:

\[
M^2 + 2M < M+1
\]

Перенесем все члены в левую часть:

\[
M^2 + 2M - (M+1) < 0
\]

Упростим выражение:

\[
M^2 + 2M - M - 1 < 0
\]

Раскроем скобки:

\[
M^2 + M - 1 < 0
\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации, полного квадратного трехчлена или квадратного корня.

Однако мы можем заметить, что неравенство должно выполняться для наибольшего целого числа М. То есть, нам нужно найти наибольшее целое число, которое удовлетворяет неравенству \(M^2 + M - 1 < 0\).

Для этого рассмотрим график функции \(f(x) = x^2 + x - 1\):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
-2 & 1 \\
-1 & -1 \\
0 & -1 \\
1 & -1 \\
2 & 3 \\
\hline
\end{array}
\]

Мы видим, что при \(x < -1\) и \(x > 1\) значение функции \(f(x)\) отрицательно, а при \(x = -1\) и \(x = 1\) значение функции равно -1.

Таким образом, наибольшее целое число М, удовлетворяющее неравенству \(M^2 + M - 1 < 0\), будет равно -2.

Итак, наибольшее целое число М, удовлетворяющее исходному неравенству \(M < \frac{{M+1}}{{M+2}}\), равно -2.