Какое число представляет длину отрезка AC в сантиметрах в треугольнике ABC, где ∠A=45°, ∠B=30° и BC=1082√см?

Krokodil_1718

19

Для решения задачи нам понадобятся знания о треугольниках и тригонометрии. Давайте разберемся пошагово:

1. Рассмотрим треугольник ABC. У нас известны два угла: ∠A = 45° и ∠B = 30°.

2. Зная сумму углов треугольника, мы можем найти третий угол. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠C = 180° - ∠A - ∠B.

∠C = 180° - 45° - 30° = 105°.

3. Теперь мы можем воспользоваться теоремой синусов для нахождения стороны треугольника. Теорема синусов утверждает, что отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих углов равно одному и тому же числу.

В данном случае мы хотим найти длину отрезка AC. Обозначим его через a. Найдем отношение длин сторон треугольника ABC к синусам противолежащих углов:

\(\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}.\)

Мы знаем длину стороны BC (BC = 1082√ см) и синусы углов A и C.

4. Выразим длину отрезка AC через известные значения:

\(\frac{1082\sqrt{см}}{\sin(45°)} = \frac{AC}{\sin(30°)}.\)

5. Теперь найдем значения синусов углов. Мы знаем, что \(\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\).

\(\frac{1082\sqrt{см}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}}.\)

6. Упростим выражение:

\(AC \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1082\sqrt{см} \cdot 2.\)

\(AC \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2164\sqrt{см}.\)

7. Чтобы найти длину отрезка AC, разделим обе части на \(\frac{\sqrt{2}}{2}\):

\(AC = \frac{2164\sqrt{см}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}.\)

8. Упростим выражение:

\(AC = 2164\sqrt{см} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}.\)

9. Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):

\(AC = 2164\sqrt{см} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}.\)

10. Упростим выражение:

\(AC = 2164\sqrt{см} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{2}.\)

\(AC = 2164\sqrt{см} \cdot \sqrt{2}.\)

11. Упростим выражение, умножив значения:

\(AC = 4338\sqrt{см}.\)

Таким образом, длина отрезка AC в сантиметрах равна \(4338\sqrt{см}\).