Какое число следует использовать при делении, чтобы все указанные числа имели различные остатки? Ответ

Morskoy_Kapitan

27

Для решения данной задачи мы должны использовать Китайскую теорему об остатках. Данная теорема гласит, что если у нас есть система уравнений вида:
\[x \equiv a_1 \pmod{m_1}\]
\[x \equiv a_2 \pmod{m_2}\]
\[...\]
\[x \equiv a_n \pmod{m_n}\]
где \(x\) - неизвестное число, \(a_1, a_2, ..., a_n\) - различные остатки, а \(m_1, m_2, ..., m_n\) - различные модули, то существует решение этой системы уравнений.

В нашем случае, чтобы все указанные числа имели различные остатки, мы можем сформулировать систему уравнений следующим образом:
\[x \equiv 0 \pmod{2}\]
\[x \equiv 1 \pmod{3}\]
\[x \equiv 2 \pmod{5}\]
\[x \equiv 3 \pmod{7}\]

Теперь давайте пошагово решим эту систему с помощью Китайской теоремы об остатках.

1. Определим общий модуль \(M\) как произведение всех модулей:
\[M = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210\]

2. Найдем частные модули \(M_1, M_2, M_3, M_4\), где каждый \(M_i\) представляет собой общий модуль, деленный на соответствующий модуль из исходной системы:
\[M_1 = \frac{M}{2} = 105\]
\[M_2 = \frac{M}{3} = 70\]
\[M_3 = \frac{M}{5} = 42\]
\[M_4 = \frac{M}{7} = 30\]

3. Теперь найдем обратные элементы \(w_1, w_2, w_3, w_4\), которые удовлетворяют следующим уравнениям:
\[w_1 \cdot M_1 \equiv 1 \pmod{2}\]
\[w_2 \cdot M_2 \equiv 1 \pmod{3}\]
\[w_3 \cdot M_3 \equiv 1 \pmod{5}\]
\[w_4 \cdot M_4 \equiv 1 \pmod{7}\]

Решив эти уравнения, получим значения:
\[w_1 = 1\]
\[w_2 = 1\]
\[w_3 = 3\]
\[w_4 = 1\]

4. Теперь умножим частные модули на соответствующие обратные элементы и сложим полученные произведения:
\[x = (a_1 \cdot M_1 \cdot w_1 + a_2 \cdot M_2 \cdot w_2 + a_3 \cdot M_3 \cdot w_3 + a_4 \cdot M_4 \cdot w_4) \mod M\]

Подставим значения:
\[x = (0 \cdot 105 \cdot 1 + 1 \cdot 70 \cdot 1 + 2 \cdot 42 \cdot 3 + 3 \cdot 30 \cdot 1) \mod 210\]
\[x = (0 + 70 + 252 + 90) \mod 210\]
\[x = 412 \mod 210\]
\[x = 92\]

Таким образом, число 92 следует использовать при делении, чтобы все указанные числа имели различные остатки.