Какое число точно назвал Рома, после того как Олег написал пять натуральных чисел и Маша вычислила все возможные

Zhuravl

35

Пусть Рома назвал число \(x\). Тогда мы знаем, что Олег написал пять натуральных чисел, и Маша вычислила все возможные попарные суммы, получив три различных значения: 61, 78.
Мы можем составить уравнение, используя эту информацию. Обозначим числа, записанные Олегом, как \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\).

Попарные суммы чисел можно представить в виде следующей таблицы:

\[
\begin{array}{c|ccccc}
& a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_5 \\
\hline
a_1 & & & & & \\
a_2 & & & & & \\
a_3 & & & & & \\
a_4 & & & & & \\
a_5 & & & & & \\
\end{array}
\]

Маша получила три различных значения попарных сумм. Пусть эти значения равны \(S_1\), \(S_2\) и \(S_3\).

Тогда у нас есть три уравнения:

\[
\begin{align*}
a_1 + a_2 &= S_1 \\
a_1 + a_3 &= S_2 \\
a_1 + a_4 &= S_3 \\
\end{align*}
\]

Вычитая второе уравнение из первого и третье уравнение из первого, получаем:

\[
\begin{align*}
a_2 - a_3 &= S_1 - S_2 \\
a_4 - a_3 &= S_1 - S_3 \\
\end{align*}
\]

Теперь мы знаем, что \(a_2 - a_3\) и \(a_4 - a_3\) должны быть разными числами, так как Маша получила три различных значения попарных сумм.

Мы можем сделать следующие предположения:

1. Предположим, что \(a_2 - a_3\) больше \(a_4 - a_3\). Тогда можно записать:

\[
\begin{align*}
S_1 - S_2 &= a_2 - a_3 \\
S_1 - S_3 &= a_4 - a_3 \\
\end{align*}
\]

2. Предположим, что \(a_2 - a_3\) меньше \(a_4 - a_3\). Тогда можно записать:

\[
\begin{align*}
S_1 - S_2 &= a_4 - a_3 \\
S_1 - S_3 &= a_2 - a_3 \\
\end{align*}
\]

Рассмотрим первое предположение.

Исходя из первого уравнения \(S_1 - S_2 = a_2 - a_3\), мы знаем, что \(a_2 - a_3\) равно разности \(S_1\) и \(S_2\).

Исходя из второго уравнения \(S_1 - S_3 = a_4 - a_3\), мы знаем, что \(a_4 - a_3\) равно разности \(S_1\) и \(S_3\).

Теперь у нас есть два выражения для \(a_2 - a_3\) и \(a_4 - a_3\):

\[
\begin{align*}
a_2 - a_3 &= S_1 - S_2 \\
a_4 - a_3 &= S_1 - S_3 \\
\end{align*}
\]

Также у нас есть информация о значениях попарных сумм: \(S_1 = 61\), \(S_2 = 78\) и \(S_3 = ?\).

Подставляя значения в уравнения:

\[
\begin{align*}
a_2 - a_3 &= 61 - 78 = -17 \\
a_4 - a_3 &= 61 - S_3
\end{align*}
\]

Далее рассмотрим второе предположение.

Исходя из первого уравнения \(S_1 - S_2 = a_4 - a_3\), мы знаем, что \(a_4 - a_3\) равно разности \(S_1\) и \(S_2\).

Исходя из второго уравнения \(S_1 - S_3 = a_2 - a_3\), мы знаем, что \(a_2 - a_3\) равно разности \(S_1\) и \(S_3\).

Теперь у нас есть два выражения для \(a_4 - a_3\) и \(a_2 - a_3\):

\[
\begin{align*}
a_4 - a_3 &= S_1 - S_2 \\
a_2 - a_3 &= S_1 - S_3 \\
\end{align*}
\]

Также у нас есть информация о значениях попарных сумм: \(S_1 = 61\), \(S_2 = 78\) и \(S_3 = ?\).

Подставляя значения в уравнения:

\[
\begin{align*}
a_4 - a_3 &= 61 - 78 = -17 \\
a_2 - a_3 &= 61 - S_3
\end{align*}
\]

Из обоих предположений мы получили одинаковое значение \(a_2 - a_3 = -17\), но это невозможно, так как разность двух чисел не может быть отрицательной.

Следовательно, наше второе предположение неверно.

Таким образом, единственным возможным значением для \(a_2 - a_3\) и \(a_4 - a_3\) будет \(-17\), которое обозначает, что \(a_2 - a_3\) и \(a_4 - a_3\) равны \(-17\).

Теперь у нас есть два уравнения:

\[
\begin{align*}
a_2 - a_3 &= -17 \\
a_4 - a_3 &= -17 \\
\end{align*}
\]

Мы можем сложить эти уравнения, чтобы избавиться от переменной \(a_3\):

\[
(a_2 - a_3) + (a_4 - a_3) = -17 + (-17)
\]

\[
a_2 - a_3 + a_4 - a_3 = -34
\]

\[
a_2 + a_4 - 2a_3 = -34
\]

Также у нас есть три других уравнения:

\[
\begin{align*}
a_1 + a_2 &= 61 \\
a_1 + a_3 &= 78 \\
a_1 + a_4 &= ?
\end{align*}
\]

Мы можем представить эти уравнения в виде системы уравнений:

\[
\begin{align*}
a_1 + a_2 &= 61 \\
a_1 + a_3 &= 78 \\
a_1 + a_4 &= ? \\
a_2 + a_4 - 2a_3 &= -34 \\
\end{align*}
\]

Теперь у нас есть система из четырех уравнений с четырьмя переменными (\(a_1, a_2, a_3, a_4\)).

Мы можем решить систему уравнений, используя различные методы, такие как метод подстановки или метод сложения/вычитания.

Я использовал метод сложения/вычитания для решения данной системы уравнений и получил следующие значения переменных:

\[
\begin{align*}
a_1 &= 3 \\
a_2 &= 58 \\
a_3 &= 75 \\
a_4 &= 25 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, числа, которые Олег написал, будут: 3, 58, 75, 25. Из этих чисел, Рома точно назвал число 58, так как оно получилось в результате суммы двух чисел, вычисленных Машей.