Какое число является последней цифрой разности 1*2*3*4...*2021-1*3*5*...*2019*2021?

Джек

8

Чтобы найти последнюю цифру разности \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 2021 - 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 2019 \cdot 2021\), давайте разобьем эту задачу на две части: первая часть - вычисление произведения \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 2021\), а вторая часть - вычисление произведения \(1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 2019 \cdot 2021\).

Давайте начнем с первой части. Чтобы упростить подсчет произведения, мы можем использовать свойство ассоциативности умножения, которое гласит, что порядок элементов в произведении не имеет значения. Таким образом, мы можем переставить элементы так, чтобы наше произведение приняло вид:
\[2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2020 \cdot 2021 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 2019 \cdot 2021\]

Обратите внимание, что каждый четный элемент, начиная с 2, равен 0 в последней цифре, поскольку он всегда делится на 2 без остатка. То есть, умножение на эти четные числа не вносит вклада в последнюю цифру полученного произведения.

Теперь давайте рассмотрим вторую часть нашего выражения \(1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 2019 \cdot 2021\). Мы видим, что каждый нечетный элемент умножается на другое нечетное число. В результате произведение этих чисел будет также иметь нечетную последнюю цифру.

Теперь, когда мы знаем, что каждый четный элемент первого произведения дает 0 в последней цифре, а каждый нечетный элемент второго произведения дает нечетную последнюю цифру, мы можем сделать вывод, что последняя цифра разности будет нечетной.

Таким образом, последняя цифра разности \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 2021 - 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 2019 \cdot 2021\) будет нечетной.