Какое должно быть соотношение ширины и длины нового цеха, чтобы минимизировать количество строительного материала

Щука

16

Для решения данной задачи необходимо понимать, как изменение пропорций цеха влияет на количество строительного материала, требуемого для его строительства.

Допустим, у нас есть прямоугольный цех с изначальными размерами $L$ (длина) и $W$ (ширина), где $L$ > $W$. Общее количество строительного материала, необходимого для постройки этого цеха, равно периметру его стен. Периметр прямоугольника можно найти по формуле:

$$P=2L+2W$$

Теперь давайте предположим, что мы хотим изменить пропорции цеха таким образом, чтобы минимизировать количество строительного материала. Пусть новые размеры цеха будут $kL$ и $kW$, где $k$ - коэффициент пропорциональности.

Теперь посчитаем новый периметр этого цеха:

$$P"=2(kL)+2(kW)=2k(L+W)$$

Нам нужно найти такое значение $k$, при котором новый периметр цеха будет минимальным. Для этого вычислим производную $P"$ по $k$ и приравняем её к нулю:

$$\frac{dP"}{dk}=2(L+W)=0$$

Таким образом, получаем, что $L+W=0$. Однако исходя из логики, это невозможно, поскольку длина и ширина цеха всегда положительные величины. Это значит, что нет никакого определённого значения $k$, при котором новый периметр будет минимальным.

Получается, что при изменении пропорций цеха, сохраняя его площадь, невозможно минимизировать количество строительного материала, необходимого для его строительства.

Таким образом, чтобы минимизировать количество строительного материала, при строительстве цеха необходимо выбирать соотношение ширины и длины исходя из определенных потребностей и требований.