Какова площадь серого восьмиугольника, на рисунке изображены пять квадратов одинаковой площади, равной 16 см2

Солнечный_Зайчик_3349

44

Для решения данной задачи, нам нужно определить площадь серого восьмиугольника. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Понимание задачи

Мы имеем пять квадратов одинаковой площади, равной 16 см2. Вершины восьмиугольника находятся в серединах сторон этих квадратов. Мы должны найти площадь серого восьмиугольника.

Шаг 2: Разбиение на фигуры

Давайте разобьем серый восьмиугольник на более простые фигуры. Очевидно, что серый восьмиугольник можно разделить на восемь треугольников и один квадрат.

Шаг 3: Расчет площади треугольников

В каждом из восьми треугольников, две стороны являются радиусами квадрата, а третья сторона является боковой стороной квадрата. Поскольку все пять квадратов имеют одинаковую площадь, можно сказать, что каждый треугольник является равнобедренным.

Разобьем один из этих треугольников на два прямоугольных треугольника, проведя медиану к основанию равнобедренного треугольника. Получим два прямоугольных треугольника ABD и ACD.

Шаг 4: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD

Прямоугольный треугольник ABD имеет гипотенузу длиной, равной стороне квадрата. Поскольку площадь квадрата равна 16 см2, его сторона будет равна \(\sqrt{16} = 4\) см. Поэтому гипотенуза треугольника ABD равна 4 см.

Также, по теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. То есть \(AD^{2} + BD^{2} = AB^{2}\), где AB - гипотенуза треугольника ABD.

Поскольку треугольник ABD - прямоугольный, мы знаем, что катеты перпендикулярны. Это означает, что \(AD\) и \(BD\) являются равными и составляют прямой угол. Таким образом, \(AD = BD = \frac{AB}{2}\).

Заменяя в формуле значения катетов, получаем \(\left(\frac{AB}{2}\right)^{2} + \left(\frac{AB}{2}\right)^{2} = AB^{2}\).

Решим это уравнение: \(\frac{AB^{2}}{4} + \frac{AB^{2}}{4} = AB^{2}\).

Упростим выражение: \(\frac{AB^{2}}{2} = AB^{2}\).

Разделим обе части уравнения на \(AB^{2}\): \(\frac{AB^{2}}{2AB^{2}} = 1\).

Сократим дробь: \(\frac{1}{2} = 1\).

Мы получили противоречие, поэтому наше предположение о том, что треугольник ABD прямоугольный, неверно. Таким образом, треугольник ABD - равнобедренный.

Аналогично, можно показать, что и треугольник ACD тоже является равнобедренным.

Шаг 5: Рассчитаем площади треугольников ABD и ACD

Обратимся к треугольнику ABD. Так как он равнобедренный, то высота, опущенная из вершины A на основание BD, является медианой и делит этот треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Давайте обозначим эту высоту как h.

Площадь прямоугольного треугольника ABD можно найти с использованием формулы площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h.\]

Так как AD равняется половине стороны квадрата, получаем \[AD = \frac{4}{2} = 2.\]

Так как высота треугольника является медианой, она равняется половине гипотенузы. То есть \[h = \frac{AB}{2}.\]

Теперь подставим значения \[S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{AB}{2} = \frac{AB}{2}.\]

Шаг 6: Рассчитаем площадь серого восьмиугольника

Каждый из восьми треугольников имеет площадь \(\frac{AB}{2}\), поэтому общая площадь всех восьми треугольников будет равна \(8 \cdot \frac{AB}{2} = 4AB\).

Также у нас есть один квадрат, каждая сторона которого равна стороне квадрата из условия, то есть 4 см. Площадь этого квадрата равна \(4 \cdot 4 = 16\) см2.

Общая площадь серого восьмиугольника будет равна сумме площадей треугольников и квадрата:

\[S_{\text{восьмиугольника}} = 4AB + 16.\]

шаг 7: Найдем AB

Чтобы найти AB, мы можем использовать информацию о площади квадрата из условия задачи. Площадь квадрата равна 16 см2, поэтому его сторона будет равна \(\sqrt{16} = 4\) см.

Шаг 8: Рассчитаем площадь серого восьмиугольника

Подставим значение AB в формулу для площади восьмиугольника:

\[S_{\text{восьмиугольника}} = 4 \cdot AB + 16 = 4 \cdot 4 + 16 = 16 + 16 = 32 \, \text{см}^2.\]

Таким образом, площадь серого восьмиугольника равна 32 см2.