Какое двузначное число задумал Коля, если цифра десятков больше цифры единиц на 5? При делении задуманного числа

Скворец

48

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Первое условие говорит нам, что цифра десятков больше цифры единиц на 5. Давайте обозначим цифру десятков как \( x \) и цифру единиц как \( y \). Тогда мы можем записать это условие как уравнение: \( x = y + 5 \).

Второе условие говорит нам, что при делении задуманного числа на произведение его цифр получается частное 3 и остаток 11. Так как задуманное число является двузначным, мы можем записать это в виде уравнения: \( 10x + y = 3xy + 11 \).

Теперь у нас есть два уравнения:

\[
\begin{align*}
x &= y + 5 \\
10x + y &= 3xy + 11
\end{align*}
\]

Мы можем решить эту систему уравнений используя метод подстановки или метод исключения. Давайте воспользуемся методом подстановки.

1. Из первого уравнения мы можем выразить \( x \) через \( y \): \( x = y + 5 \).

2. Подставим это выражение для \( x \) во второе уравнение: \( 10(y + 5) + y = 3y(y + 5) + 11 \).

3. Раскроем скобки и соберем все слагаемые: \( 10y + 50 + y = 3y^2 + 15y + 11 \).

4. Упростим уравнение, приведя подобные слагаемые: \( 11y + 50 = 3y^2 + 15y + 11 \).

5. Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения: \( 3y^2 + 15y + 11 - 11y - 50 = 0 \).

6. Упростим уравнение: \( 3y^2 + 4y - 39 = 0 \).

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя факторизацию, метод дискриминанта или формулу корней. В данном случае факторизация не работает, так как нам придется подобрать множители. Давайте воспользуемся формулой корней:

\[
y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}
\]

где \( a = 3 \), \( b = 4 \) и \( c = -39 \).

Подставим значения:

\[
\begin{align*}
y &= \frac{{-4 \pm \sqrt{{4^2 - 4 \cdot 3 \cdot -39}}}}{{2 \cdot 3}} \\
y &= \frac{{-4 \pm \sqrt{{16 + 468}}}}{{6}} \\
y &= \frac{{-4 \pm \sqrt{{484}}}}{{6}} \\
y &= \frac{{-4 \pm 22}}{{6}}
\end{align*}
\]

Теперь найдем два возможных значения \( y \):

1. Когда \( y = \frac{{-4 + 22}}{{6}} = \frac{{18}}{{6}} = 3 \).
2. Когда \( y = \frac{{-4 - 22}}{{6}} = \frac{{-26}}{{6}} = -\frac{{13}}{{3}} \).

Поскольку число является двузначным, \( y \) не может быть отрицательным. Поэтому мы выбираем \( y = 3 \).

Теперь, когда мы знаем значение \( y \), мы можем найти значение \( x \) из первого уравнения: \( x = y + 5 = 3 + 5 = 8 \).

Таким образом, задуманное число Коли равно 83.