Какое фокусное расстояние имеет лупа, обеспечивающая увеличение в 7 раз?

Iskryaschayasya_Feya

15

Конечно, я помогу вам решить эту задачу о лупе.

Перед тем, как перейти к решению, давайте сначала определимся, что такое фокусное расстояние (F) лупы. Фокусное расстояние - это расстояние между самой лупой и изображением, которое она создает. У лупы есть два фокусных расстояния - фокусное расстояние для предметов, находящихся на расстоянии больше фокусного расстояния (фокусное расстояние для веществ восходит к \( +F \)), и фокусное расстояние для предметов, находящихся на расстоянии меньше фокусного расстояния (фокусное расстояние для веществ восходит к \( -F \)).

Теперь перейдем к решению задачи. Задача говорит о лупе, которая обеспечивает увеличение в 7 раз.

Увеличение, обозначаемое как \(U\), определяется как отношение размера изображения к размеру предмета:
\[ U = \frac{{h"}}{{h}} \],
где \( h" \) - высота изображения и \( h \) - высота предмета.

В данной задаче увеличение равно 7, поэтому:
\[ U = 7 \]
\[ \frac{{h"}}{{h}} = 7 \]

Таким образом, высота изображения в 7 раз больше высоты предмета:
\[ h" = 7h \]

Зная это, мы можем воспользоваться формулой для фокусного расстояния лупы:
\[ \frac{1}{{f}} = \frac{{1}}{{d_o}} - \frac{{1}}{{d_i}} \],
где \( f \) - фокусное расстояние лупы, \( d_o \) - расстояние предмета до лупы и \( d_i \) - расстояние изображения до лупы.

Предположим, что предмет находится на расстоянии \( d_o \) от лупы. Затем, чтобы получить изображение, линии лучей пересекаются в фокусе лупы. Расстояние изображения \( d_i \) равно фокусному расстоянию \( f \). Теперь нам нужно найти фокусное расстояние \( f \) для лупы, обеспечивающей увеличение в 7 раз.

Чтобы найти \( f \), мы можем использовать уравнение для фокусного расстояния лупы:
\[ \frac{1}{{f}} = \frac{{1}}{{d_o}} - \frac{{1}}{{d_i}} \]

У нас есть выражение для \( h" \) из формулы увеличения:
\[ h" = 7h \]

Так как увеличение определяется как:
\[ U = \frac{{h"}}{{h}} \],

Мы можем записать его в виде:
\[ 7 = \frac{{h"}}{{h}} \],

Отсюда можно выразить \( h \) через \( h" \):
\[ h = \frac{{h"}}{{7}} \]

Теперь мы можем заменить \( h \) в уравнении для фокусного расстояния лупы:
\[ \frac{1}{{f}} = \frac{{1}}{{d_o}} - \frac{{1}}{{d_i}} \]

Подставим значения:
\[ \frac{1}{{f}} = \frac{{1}}{{d_o}} - \frac{{1}}{{f}} \]

Теперь найдем \( f \) из этого уравнения.

\[ \frac{1}{{f}} + \frac{1}{{f}} = \frac{{1}}{{d_o}} \]

\[ \frac{{2}}{{f}} = \frac{{1}}{{d_o}} \]

\[ f = \frac{{d_o}}{{2}} \]

Заметим, что в нашем случае \( d_o \) - расстояние предмета до лупы, дано в условии задачи.

Таким образом, чтобы найти фокусное расстояние лупы, обеспечивающей увеличение в 7 раз, необходимо разделить данное расстояние \( d_o \) на 2.

\[ f = \frac{{d_o}}{{2}} \]

И наш окончательный ответ: фокусное расстояние данной лупы равно \( \frac{{d_o}}{{2}} \), где \( d_o \) - расстояние предмета до лупы.