Какое геометрическое множество представляют точки, удовлетворяющие системе неравенств: Х^2+у^2≤36 и

Звездопад_Шаман

43

Дано геометрическое множество точек, которые удовлетворяют системе неравенств \(x^2 + y^2 \leq 36\) и \(xy > 4\). Давайте разберемся, какие точки входят в это множество.

Неравенство \(x^2 + y^2 \leq 36\) представляет окружность с центром в начале координат \((0,0)\) и радиусом 6. Интуитивно, это все точки внутри или на границе окружности.

Неравенство \(xy > 4\) определяет область плоскости, где произведение координат \(x\) и \(y\) больше 4. Можно представить ее в виде двух полуплоскостей, разделенных гиперболой \(xy = 4\). Гипербола проходит через точки \((2,2)\) и \((-2,-2)\) и является осью симметрии для этих полуплоскостей.

Теперь, чтобы найти искомое геометрическое множество, нам нужно найти область пересечения этих двух геометрических фигур - окружности и полуплоскостей.

Давайте начнем с геометрического множества, ограниченного окружностью \(x^2 + y^2 \leq 36\). Это окружность радиусом 6, где все точки внутри и на границе окружности удовлетворяют неравенству.

Теперь добавим в это геометрическое множество ограничение \(xy > 4\).

Учитывая ограничение \(xy > 4\), давайте разделим плоскость на две области: одну с \(xy > 4\) и другую с \(xy < 4\).

Точки с \(xy > 4\) находятся в двух полуплоскостях, ограниченных гиперболой \(xy = 4\). Это область между гиперболой и границей первой четверти (\(x > 2, y > 2\)) и область между гиперболой и границей третьей четверти (\(x < -2, y < -2\)).

Чтобы найти искомое геометрическое множество, нам нужно найти пересечение окружности и полуплоскостей. Это будет область внутри окружности, в которой \(x\) и \(y\) положительны (\(x > 0, y > 0\)), и область внутри окружности, в которой \(x\) и \(y\) отрицательны (\(x < 0, y < 0\)).

Таким образом, искомое геометрическое множество - это две части окружности радиусом 6, ограниченные осями координат и осями первой и третьей четверти плоскости.

Система неравенств определяет следующее геометрическое множество в плоскости:

\[
\left\{ (x, y) \mid (x^2 + y^2 \leq 36) \text{ и } (xy > 4) \right\}
\]

Это совокупность точек внутри и на окружности радиусом 6, ограниченной первой и третьей четвертью плоскости.