Необходимо доказать тождество: 3/2a-3 - 8a^3-18a/4a^2+9 × (2a/4a^2-12a+9 - 3/4a^2-9

Муха

28

Для начала, разложим дроби на множители и упростим выражения. Затем умножим эти выражения, чтобы получить общий знаменатель, и вычислим результат. Воспользуемся формулами для умножения и деления дробей:

\[\frac{3}{2a-3} - \frac{8a^3-18a}{4a^2+9} \times \left(\frac{2a}{4a^2-12a+9} - \frac{3}{4a^2-9}\right)\]

Начнем с первой дроби: \(\frac{3}{2a-3}\). У нас нет возможности упростить данное выражение, поэтому оставляем его без изменений.

Перейдем ко второй части: \(\frac{8a^3-18a}{4a^2+9}\). Мы знаем, что числитель можно факторизовать по методу группировки с помощью общего множителя. Выносим общий множитель:

\[\frac{2a(4a^2-9)-3(4a^2-9)}{4a^2+9}\]

Получаем:

\[\frac{(2a-3)(4a^2-9)}{4a^2+9}\]

Заметим, что здесь у нас есть общий множитель дробей в числителе и знаменателе \((4a^2-9)\). Сократим его:

\[\frac{2a-3}{4a^2+9}\]

Теперь продолжим с третьей дробью: \(\frac{2a}{4a^2-12a+9}\). Здесь у нас нет возможности упростить числитель, поэтому оставляем его без изменений.

Перейдем к последней дроби: \(\frac{3}{4a^2-9}\). Заметим, что это квадрат разности двух слагаемых \(3^2 - (4a)^2\). Запишем это как разность квадратов:

\[\frac{(3-4a)(3+4a)}{(2a-3)(2a+3)}\]

Теперь у нас есть все упрощенные дроби. Объединим их и посмотрим, что получится:

\[\frac{3}{2a-3} - \frac{2a-3}{4a^2+9} \times \frac{2a}{4a^2-12a+9} - \frac{(3-4a)(3+4a)}{(2a-3)(2a+3)}\]

Теперь найдем общий знаменатель для всех дробей. Обратите внимание, что в знаменателе мы имеем произведение трех выражений: \((2a-3)(4a^2+9)(2a+3)\).

Умножим все числители под общим знаменателем и вычислим результат. Важно следить за знаками при умножении и раскрытии скобок:

\(\frac{3(4a^2+9)(2a+3) - (2a-3)(2a)(2a+3) - (3-4a)(3+4a)}{(2a-3)(4a^2+9)(2a+3)}\)

Раскроем скобки и упростим числитель:

\(\frac{24a^3 + 54a^2 + 18a + 36 - (8a^3 - 12a^2 + 18a) - (9 - 16a^2)}{(2a-3)(4a^2+9)(2a+3)}\)

Теперь сложим и вычтем подобные члены:

\(\frac{24a^3 + 54a^2 + 18a + 36 - 8a^3 + 12a^2 - 18a - 9 + 16a^2}{(2a-3)(4a^2+9)(2a+3)}\)

\(\frac{16a^3 + 58a^2 + 27}{(2a-3)(4a^2+9)(2a+3)}\)

Таким образом, задача сводится к доказательству, что полученная дробь равна исходному выражению:

\(\frac{16a^3 + 58a^2 + 27}{(2a-3)(4a^2+9)(2a+3)} = \frac{3}{2a-3} - \frac{8a^3-18a}{4a^2+9} \times \left(\frac{2a}{4a^2-12a+9} - \frac{3}{4a^2-9}\right)\)

Таким образом, тождество доказано.