Какое из чисел 2, 4, 9, 8 является шестым делителем числа n, которое имеет ровно шесть различных натуральных делителей

Беленькая

58

Для решения этой задачи нам необходимо найти число \(n\), которое имеет ровно шесть различных натуральных делителей и у которого произведение этих делителей равно 432. Затем мы должны найти шестой делитель этого числа из чисел 2, 4, 9 и 8.

Для начала, разложим число 432 на простые множители:
\[432 = 2^4 \times 3^3\]

Затем, чтобы найти количество делителей для числа \(n\), мы можем использовать формулу:
\[\text{Количество делителей} = (4+1) \times (3+1) = 20\]

Теперь нам нужно найти число, которое имеет ровно 20 делителей и произведение этих делителей равно 432. Для этого мы можем восстановить исходное число, используя его разложение на простые множители.

Рассмотрим все возможные комбинации простых множителей для числа 432, чтобы найти такое число \(n\), которое имеет 20 делителей:
\[432 = (2^4 \times 3^3)\]
\[432 = (2^3 \times 3^2) \times (2 \times 3)\]
\[432 = (2^2 \times 3^2) \times (2^2 \times 3)\]
\[432 = (2^2 \times 3) \times (2^3 \times 3^2)\]
\[432 = (2 \times 3) \times (2^4 \times 3^3)\]

Таким образом, мы получаем пять возможных вариантов для значения числа \(n\): 72, 36, 18, 12 и 6. Теперь нам нужно выяснить, является ли одно из этих чисел шестым делителем найденного значения числа \(n\) и произведения этих делителей равное 432.

Разложим каждое из этих чисел на простые множители:
\[72 = 2^3 \times 3^2\]
\[36 = 2^2 \times 3^2\]
\[18 = 2 \times 3^2\]
\[12 = 2^2 \times 3\]
\[6 = 2 \times 3\]

Из предложенных чисел только число 6 является шестым делителем, так как остальные числа - это более крупные делители. Проверим, является ли число 6 искомым числом \(n\) путем умножения его делителей:
\[2 \times 3 \times 6 \times 12 \times 18 \times 36 = 432\]

Таким образом, число 6 является шестым делителем числа \(n\), которое имеет ровно шесть различных натуральных делителей, включая один и само число \(n\), и произведение этих шести делителей равно 432.