Какое количество электричества протекло по проводнику в течение временного интервала [2;3], если зависимость силы тока

Лапуля_9629

7

Для решения этой задачи, нам нужно вычислить количество электричества, протекшего по проводнику в заданном временном интервале \([2;3]\), зная зависимость силы тока от времени, заданную формулой \(l(t) = 3t^2 - 2t\).

Чтобы найти количество электричества, нужно интегрировать силу тока по времени в заданных пределах. Используем следующую формулу интеграла:

\[
\int_{a}^{b} l(t) \,dt
\]

Здесь \(a\) и \(b\) - нижний и верхний пределы интегрирования соответственно.

Применим эту формулу к нашей задаче:

\[
\int_{2}^{3} (3t^2 - 2t) \,dt
\]

Для удобства, распишем это интеграл по частям.

Сначала найдем первообразную функцию \(\int (3t^2 - 2t) \,dt\). Чтобы это сделать, проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

\[
\int 3t^2 \,dt = t^3 + C_1 \quad \text{(1)}
\]
\[
\int -2t \,dt = -t^2 + C_2 \quad \text{(2)}
\]

Здесь \(C_1\) и \(C_2\) - произвольные постоянные интегрирования.

Теперь, подставим границы интегрирования и вычислим разность значений в этих границах:

\[
\int_{2}^{3} (3t^2 - 2t) \,dt = \left[ t^3 + C_1 \right]_{2}^{3} - \left[ -t^2 + C_2 \right]_{2}^{3}
\]

Подставим значения в скобки и упростим:

\[
\left[ 3^3 + C_1 \right] - \left[ 2^3 + C_1 \right] - \left[ -(3^2) + C_2 \right] + \left[ -(2^2) + C_2 \right] = 27 + C_1 - 8 - C_1 - 9 + C_2 + 4 - C_2 = 14 \, \text{единицы электричества}
\]

Таким образом, в заданном временном интервале от 2 до 3 количество электричества, протекшего по проводнику, составляет 14 единиц.

Обратите внимание, что \(C_1\) и \(C_2\) - произвольные константы. В нашем решении их значения сократились при вычислениях.