Какое количество различных последовательностей из восьми символов в алфавите {А, В, С, D, Е} содержат три буквы?

Александрович

63

Для решения данной задачи, мы можем использовать комбинаторику и правило умножения.

У нас есть алфавит из пяти символов {А, В, С, D, Е}. Мы должны составить последовательность из восьми символов, содержащую три буквы.

Давайте разделим решение на два шага.

Шаг 1: Выбор трех различных букв
Здесь мы будем использовать сочетания. У нас есть пять букв, и мы должны выбрать три различные буквы. Формула для сочетания из n по k выглядит следующим образом:
\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]
Где n - общее количество элементов, а k - количество элементов, которое мы должны выбрать.

В нашем случае, n = 5 и k = 3. Подставляя эти значения в формулу сочетания, мы получим:
\[C(5, 3) = \frac{{5!}}{{3!(5-3)!}} = \frac{{5!}}{{3!2!}} = \frac{{5 \times 4 \times 3!}}{{3! \times 2 \times 1}} = \frac{{5 \times 4}}{{2 \times 1}} = 10\]

Таким образом, у нас есть 10 способов выбрать три различные буквы из данного алфавита.

Шаг 2: Размещение выбранных букв в последовательности из восьми символов
Теперь у нас есть три выбранные различные буквы. Мы должны разместить их в последовательности из восьми символов.

Для этого мы будем использовать размещения. У нас есть три различные буквы, и мы должны разместить их в восьми позициях. Формула для размещения из n по k выглядит следующим образом:
\[A(n, k) = \frac{{n!}}{{(n-k)!}}\]
Где n - общее количество элементов, а k - количество элементов, которые мы должны разместить.

В нашем случае, n = 3 и k = 8. Подставляя эти значения в формулу размещения, мы получим:
\[A(3, 8) = \frac{{8!}}{{(8-3)!}} = \frac{{8!}}{{5!}} = \frac{{8 \times 7 \times 6 \times 5!}}{{5!}} = 8 \times 7 \times 6 = 336\]

Таким образом, у нас есть 336 различных последовательностей из восьми символов в алфавите {А, В, С, D, Е}, которые содержат три буквы.

Для лучшего понимания, вот пошаговое решение задачи:
1. Выбор трех различных букв: \(C(5, 3) = 10\) способов.
2. Размещение выбранных букв в последовательности из восьми символов: \(A(3, 8) = 336\) различных последовательностей.

Надеюсь, ответ был понятен и подробен для вас! Если у вас возникнут какие-либо дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!