Какое максимальное количество гномов может быть в бригаде, чтобы Мерлину было выгоднее иметь дело с ними, если

Раиса

7

Чтобы решить данную задачу, нужно найти такое максимальное количество гномов, при котором расходы Мерлина на бригаду минимальны или приносят ему наибольшую выгоду.

Давайте посмотрим, как складываются расходы Мерлина при различном количестве гномов в бригаде.

Пусть \(n\) – количество гномов в бригаде.

Стоимость за 1-й метр подземного хода составляет 70 золотых.
За каждый следующий метр плата увеличивается на 14 золотых.
Поэтому общая стоимость за \(x\) метров подземного хода будет равна:
\[70 + 14 \cdot (x - 1)\]

Также гномы требуют угощение на 80 золотых и премиальные в размере 920 золотых для каждого гнома после окончания работ.

Суммируя все расходы, получаем следующее уравнение для общей стоимости с учетом угощений и премиальных:
\[C(n) = (70 + 14 \cdot (x - 1)) \cdot x + 80 \cdot x + 920 \cdot n\]

Теперь найдем такое значение \(n\), при котором расходы Мерлина на бригаду будут минимальными.

Для этого найдем производную функции \(C(n)\) по \(n\) и приравняем ее к нулю:
\[\frac{{dC}}{{dn}} = 0\]

Найденное значение \(n\) будет являться точкой экстремума функции расходов Мерлина на бригаду.

Теперь вычислим производную функции \(C(n)\):
\[\frac{{dC}}{{dn}} = \frac{{d}}{{dn}}((70 + 14 \cdot (x - 1)) \cdot x + 80 \cdot x + 920 \cdot n)\]
\[\frac{{dC}}{{dn}} = 70 + 14 \cdot (x - 1) + 80 + 920 = 14x + 1066\]

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\[14x + 1066 = 0\]
\[14x = -1066\]
\[x = -76.14\]

Заметим, что \(x\) должно быть целым положительным числом.

Ответ: Максимальное количество гномов в бригаде, чтобы Мерлину было выгоднее иметь дело с ними, составляет 76 гномов.