Какое максимальное количество прекрасных клеток может быть на доске размером 10х10, где клетки раскрашены

Евгеньевна

52

Чтобы понять, сколько прекрасных клеток может быть на доске размером 10х10, где клетки раскрашены в 11 различных цветов, давайте разберемся, что такое прекрасные клетки.

В данной задаче прекрасной называется клетка, у которой все соседние клетки имеют другой цвет. Соседние клетки - это клетки, которые находятся справа, слева, сверху и снизу от рассматриваемой клетки. Если клетка расположена у края доски, то она имеет меньшее количество соседей.

Давайте рассмотрим возможные варианты для клеток на краях доски. Мы не сможем сказать, как будут раскрашены соседние клетки за пределами доски, поэтому для удобства будем считать, что все соседние клетки за пределами доски имеют разный цвет, чтобы не ограничивать количество прекрасных клеток.

Если мы рассмотрим клетку, находящуюся в углу доски (например, верхний левый угол), то она будет иметь только 2 соседние клетки. При этом у нее есть всего 11 различных цветов для окрашивания. По определению, прекрасные клетки не могут иметь соседов того же цвета, поэтому наша клетка в углу доски может быть раскрашена в 11 различных цветов.

Если мы рассмотрим клетку, находящуюся у края доски (например, верхняя горизонтальная грань), она будет иметь 3 соседние клетки, так как одна из сторон клетки будет смотреть на соседнюю клетку. Здесь также можно окрасить эту клетку в любой из 11 цветов, так как у нее достаточно возможностей для выбора разного цвета соседей.

Для всех внутренних клеток доски (не являющихся ни угловыми, ни у коего клетками), каждая такая клетка будет иметь 4 соседних клетки, с которыми нужно учитывать цвета. Мы знаем, что у нас есть 11 разных цветов и нам нужно сделать так, чтобы все соседние клетки имели другой цвет. Каждая клетка окружена 4 соседними клетками, значит, у нее есть только 10 возможных цветов для раскраски, так как один из цветов займет сама клетка.

Теперь, чтобы ответить на вопрос о максимальном количестве прекрасных клеток на доске, посчитаем количество клеток в каждой категории:

- Количество угловых клеток: 4
- Количество клеток на краях (не угловых): 36
- Количество внутренних клеток: (10-2)*(10-2) = 64

Теперь посчитаем количество прекрасных клеток в каждой категории:

- Для угловых клеток: все 11 цветов доступны, поэтому 4 прекрасных клетки.
- Для клеток на краях: каждая такая клетка имеет 10 возможных цветов для раскраски, поэтому 36*10 = 360 прекрасных клеток на краях.
- Для внутренних клеток: каждая такая клетка имеет 10 возможных цветов для раскраски, поэтому 64*10 = 640 прекрасных внутренних клеток.

Итого, общее количество прекрасных клеток на доске 10х10, где клетки раскрашены в 11 различных цветов будет 4 + 360 + 640 = 1004 прекрасных клеток.

Важно отметить, что это максимально возможное количество прекрасных клеток с учетом условий задачи. При других условиях (например, другом количестве цветов или другом размере доски) количество прекрасных клеток может быть другим.