Какое максимальное количество прямых можно нарисовать на плоскости так, чтобы любые сто из них были перпендикулярными?

Муха

64

Перед тем, как мы перейдем к решению задачи, давайте сначала поймем, что такое перпендикулярные прямые. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. То есть, угол между ними должен быть равен 90 градусам.

Теперь перейдем к задаче. Нам нужно найти максимальное количество перпендикулярных прямых, которые можно нарисовать на плоскости.

Давайте начнем с простого случая, где проведем одну прямую. Эту прямую мы можем рассматривать уже как горизонтальную или вертикальную ось.

Затем, чтобы найти следующую перпендикулярную прямую, обратимся к определению перпендикулярности. Мы должны провести прямую, которая пересекает первую прямую под прямым углом.

Таким образом, нарисовав вторую прямую, мы получим один прямой угол.

Чтобы найти третью прямую, проведем ее так, чтобы она пересекала первую и вторую прямые под прямым углом.

Продолжая таким образом, мы можем провести 4-ю, 5-ю, и так далее прямые, каждая из которых будет перпендикулярна всем предыдущим прямым.

Понятно, что каждая новая прямая будет пересекать все предыдущие прямые, образуя прямые углы с ними. Итак, если у нас уже есть \(n\) перпендикулярных прямых, то нам нужно провести еще одну прямую, которая пересечет все предыдущие прямые, образуя новый прямой угол с каждой из них. Таким образом, мы получим \(n+1\) перпендикулярную прямую.

Очевидно, что первая прямая, которую мы нарисовали, можно рассматривать как начальную точку, поэтому для нахождения максимального количества перпендикулярных прямых нам нужно знать количество прямых, требуемых для образования \(n\) прямых углов.

Таким образом, максимальное количество перпендикулярных прямых можно найти следующим образом:
Нужно провести \(n+1\) прямую, где \(n\) - количество прямых, требуемых для формирования \(n\) прямых углов.

В результате, максимальное количество перпендикулярных прямых, которые можно нарисовать на плоскости так, чтобы любые сто из них были перпендикулярными, равно 101.

Надеюсь, это поможет вам решить задачу на олимпиаде.