Можно ли подтвердить, что четырехугольник ABCD является прямоугольником? И какова площадь этого четырехугольника, если

Strekoza

23

Чтобы узнать, является ли четырехугольник ABCD прямоугольником, мы можем использовать свойство прямоугольника, которое говорит, что если все углы четырехугольника являются прямыми углами (то есть равны 90°), то он является прямоугольником.

Для начала давайте построим четырехугольник ABCD на координатной плоскости. У нас есть следующие координаты вершин:

А (14, 2)
B (17, 8)
C (11, 11)
D (8, 5)

Построим эти точки на графике:

\[
\begin{array}{cc}
\text{D}&\text{A}\\
&\\
\text{C}&\text{B}
\end{array}
\]

Теперь нам нужно проверить, равны ли все углы между сторонами четырехугольника ABCD 90°.

Для этого мы можем использовать свойство прямоугольника, которое говорит, что углы противоположных вершин четырехугольника должны быть суммарно 180°.

Для примера, мы можем проверить угол DAB. Для этого мы найдем длины сторон AD и AB и используем формулу для нахождения угла между векторами:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AD}}}{{|\mathbf{AB}||\mathbf{AD}|}}
\]

Где \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{AD}\) - векторы, соответствующие сторонам AB и AD.

Таким образом, мы можем вычислить угол DAB следующим образом:

\[
\theta = \cos^{-1}\left(\frac{{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AD}}}{{|\mathbf{AB}||\mathbf{AD}|}}\right)
\]

Для наших координат, длина стороны AB равна:

\[
|\mathbf{AB}| = \sqrt{(17-14)^2 + (8-2)^2}
\]

\[
|\mathbf{AB}| = \sqrt{9 + 36}
\]

\[
|\mathbf{AB}| = \sqrt{45}
\]

А длина стороны AD равна:

\[
|\mathbf{AD}| = \sqrt{(14-8)^2 + (2-5)^2}
\]

\[
|\mathbf{AD}| = \sqrt{36 + 9}
\]

\[
|\mathbf{AD}| = \sqrt{45}
\]

Теперь мы можем найти скалярное произведение векторов \(\mathbf{AB}\) и \(\mathbf{AD}\):

\[
\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AD} = (17-14)(14-8) + (8-2)(2-5)
\]

\[
\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AD} = 3 \cdot 6 + 6 \cdot (-3)
\]

\[
\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AD} = 18 - 18
\]

\[
\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AD} = 0
\]

Теперь мы можем вычислить значение угла DAB:

\[
\theta = \cos^{-1}\left(\frac{0}{{\sqrt{45} \cdot \sqrt{45}}}\right)
\]

\[
\theta = \cos^{-1}\left(\frac{0}{45}\right)
\]

\[
\theta = \cos^{-1}(0)
\]

Значение \(\theta\) равно 90°, что означает, что угол DAB является прямым углом.

Аналогично, мы можем проверить остальные углы BCD, CDA и ABC и увидеть, являются ли они прямыми углами. Если они все равны 90°, то четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Теперь давайте посчитаем площадь этого прямоугольника. Для этого нам понадобится найти длины сторон AB и AD.

Мы уже вычислили длины этих сторон:

\[
|\mathbf{AB}| = \sqrt{45}
\]

\[
|\mathbf{AD}| = \sqrt{45}
\]

Чтобы найти площадь прямоугольника, мы можем использовать формулу:

\[
\text{Площадь} = |\mathbf{AB}| \cdot |\mathbf{AD}|
\]

Подставляя числовые значения, получим:

\[
\text{Площадь} = \sqrt{45} \cdot \sqrt{45}
\]

\[
\text{Площадь} = 45
\]

Таким образом, площадь четырехугольника ABCD равна 45.