Какова площадь грани BCC1B1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1, если известно, что AB = 3, AD = 6, и tg ∠CAC1

Пушистик

28

Для решения задачи нам понадобится использовать геометрию параллелограмма и свойства прямоугольных треугольников. Для начала введем обозначения:

- Параллелепипед ABCDA1B1C1, где AB = 3 и AD = 6.
- Угол между векторами AC и A1C1 обозначим как ∠CAC1.

Шаг 1: Найдем вершины параллелограмма BCC1B1.

Заметим, что прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1 имеет шесть граней, каждая из которых является прямоугольником. Грани BCC1B1 и ABCA1 являются прямоугольными треугольниками.

Шаг 2: Найдем высоту треугольника ABC.

Так как AD является боковой стороной параллелограмма ABCA1C1, то высота треугольника ABC будет равна AD.

Шаг 3: Найдем длину основания треугольника ABC.

Для этого воспользуемся формулой тангенса для прямоугольного треугольника:

tg ∠CAC1 = AC1/AC = TC1/AC.

Так как мы знаем, что AB = 3, то AC = AB*sqrt(2) = 3*sqrt(2), где sqrt указывает на извлечение квадратного корня.

Шаг 4: Найдем длину AB1.

AB1 соответствует длине стороны прямоугольника ABCA1, поэтому AB1 = AB = 3.

Шаг 5: Найдем площадь грани BCC1B1.

Площадь прямоугольника можно найти, умножив длину на ширину. В нашем случае, BCC1B1 является прямоугольником, площадь которого равна AB1 * BC1.

Подставим известные значения:

AB1 = 3,
BC1 = теперь обозначим эту строну как х,
площадь BCC1B1 = 3 * х.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что треугольник ABC является прямоугольным, и соответствующие стороны обозначены AD и AC. Используя теорему Пифагора, мы можем записать:

(AD)^2 + (AC)^2 = (BC)^2,

где BC обозначает длину основания треугольника ABC.

Подставим известные значения:

(6)^2 + (3*sqrt(2))^2 = BC^2.

Шаг 6: Найдем длину BC.

Выполним вычисления:

36 + 18 = BC^2,
54 = BC^2.

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

BC = sqrt(54).

Таким образом, длина стороны BC равна sqrt(54).

Шаг 7: Найдем длину BC1.

BC1 соответствует длине стороны прямоугольника BCC1B1, поэтому BC1 = BC = sqrt(54).

Шаг 8: Рассчитаем площадь BCC1B1.

Подставим значения в формулу площади прямоугольника:

площадь BCC1B1 = AB1 * BC1 = 3 * sqrt(54).

Таким образом, площадь грани BCC1B1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1 равна 3 * sqrt(54).