Какое максимальное значение функции y=ln(4x)-4x+5 достигается на интервале [1/8;5/8]?

Yakorica

5

Хорошо, давайте вместе разберемся с этой задачей!

Мы должны найти максимальное значение функции \(y = \ln(4x) - 4x + 5\) на интервале \([1/8, 5/8]\).

1. Давайте начнем с выражения функции и ее графического представления. Функция \(y = \ln(4x) - 4x + 5\) состоит из трех компонентов: натурального логарифма \(\ln(4x)\), линейной функции \(-4x\) и константы \(5\). График этой функции будет иметь форму кривой линии.

2. Для начала, найдем производную этой функции по \(x\), чтобы найти точки, где она достигает своего максимального или минимального значения. Найдем производную:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4x} - 4\)

3. Далее приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки, где функция может достигать экстремумов:

\(\frac{1}{4x} - 4 = 0\)

4. Решим это уравнение относительно \(x\):

\(\frac{1}{4x} = 4\)

Умножим обе части уравнения на \(4x\):

\(1 = 16x\)

Разделим обе части уравнения на \(16\):

\(x = \frac{1}{16}\)

5. Проверим найденную точку на интервале \([1/8, 5/8]\) и определим, является ли она точкой максимума или минимума.

Подставим \(\frac{1}{16}\) в исходную функцию:

\(y = \ln(4(\frac{1}{16})) - 4(\frac{1}{16}) + 5\)

\(y = \ln(\frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + 5\)

6. Теперь рассчитаем значение \(y\):

\(y \approx 4.611\) (округляем до 3 знаков после запятой)

Итак, на интервале \([1/8, 5/8]\) максимальное значение функции \(y = \ln(4x) - 4x + 5\) приблизительно равно 4.611.

Заметьте, что мы использовали производную функции для определения критической точки нашей функции, а затем проверили, является ли эта точка максимумом или минимумом, подставив ее в исходную функцию и нашли значение \(y\).