Какое максимальное значение имеет функция y=85x−83sinx+55 на интервале [− π/2, π/2]?

Moroznaya_Roza

39

Хорошо! Давайте найдем максимальное значение функции \( y = 85x - 83\sin(x) + 55 \) на интервале от \( -\frac{\pi}{2} \) до \( \frac{\pi}{2} \).

Шаг 1: Найдем критические точки функции. Критические точки являются точками, где производная функции равна нулю или не существует.

Для начала, найдем производную функции:
\[ \frac{dy}{dx} = 85 - 83\cos(x) \]

Шаг 2: Решим уравнение \( \frac{dy}{dx} = 0 \) для нахождения критических точек:
\[ 85 - 83\cos(x) = 0 \]

Чтобы решить это уравнение, надо перенести 85 на другую сторону:
\[ - 83\cos(x) = -85 \]

Теперь разделим обе стороны на -83:
\[ \cos(x) = \frac{-85}{-83} = \frac{85}{83} \]

Шаг 3: Найдем значения \( x \), удовлетворяющие этому уравнению. Для этого используем обратную функцию косинуса:
\[ x = \arccos\left(\frac{85}{83}\right) \]

Однако, мы ищем значения \( x \) на интервале от \( -\frac{\pi}{2} \) до \( \frac{\pi}{2} \), поэтому у нас есть две критические точки: \( x_1 = -\arccos\left(\frac{85}{83}\right) \) и \( x_2 = \arccos\left(\frac{85}{83}\right) \).

Шаг 4: Теперь найдем значения функции в этих критических точках и на концах интервала.

Подставим \( x_1 \) в исходную функцию:
\[ y_1 = 85x_1 - 83\sin(x_1) + 55 \]

Подставим \( x_2 \):
\[ y_2 = 85x_2 - 83\sin(x_2) + 55 \]

Подставим \( x = -\frac{\pi}{2} \):
\[ y_3 = 85\left(-\frac{\pi}{2}\right) - 83\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 55 \]

Подставим \( x = \frac{\pi}{2} \):
\[ y_4 = 85\left(\frac{\pi}{2}\right) - 83\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 55 \]

Шаг 5: Найдем максимальное значение функции из всех найденных значений. Чтобы найти максимальное значение, сравним результаты \( y_1, y_2, y_3, y_4 \).

Теперь остается только вычислить значения и получить окончательный ответ. Ниже вы найдете числовые значения, которые помогут вам расчетами.