Какое максимальное значение параметра b необходимо для существования такого α, при котором уравнение x²+(2sin

Роза_4482

22

Для решения этой задачи нам нужно установить условия, при которых уравнение \(x^2 + (2\sin \alpha + 3\cos \alpha)x + b = 0\) имеет действительный корень.

Чтобы уравнение имело действительный корень, дискриминант должен быть неотрицательным числом. Для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) дискриминант вычисляется по формуле: \(\Delta = b^2 - 4ac\).

В нашем случае, уравнение имеет вид \(x^2 + (2\sin \alpha + 3\cos \alpha)x + b = 0\). Сравним его с общим видом \(ax^2 + bx + c = 0\):

\(a = 1\),
\( b = 2\sin \alpha + 3\cos \alpha\),
\( c = b\).

Вычислим дискриминант для данного уравнения:

\(\Delta = (2\sin \alpha + 3\cos \alpha)^2 - 4 \cdot 1 \cdot b\).

Поскольку мы ищем максимальное значение параметра \(b\), то нам нужно найти условие, при котором дискриминант будет равен нулю. То есть:

\(\Delta = 0\).

Решим уравнение \((2\sin \alpha + 3\cos \alpha)^2 - 4 \cdot 1 \cdot b = 0\) относительно \(b\):

\((2\sin \alpha + 3\cos \alpha)^2 - 4b = 0\).

Раскроем квадрат и приведем подобные члены:

\(4\sin^2 \alpha + 12\sin \alpha \cos \alpha + 9\cos^2 \alpha - 4b = 0\).

Теперь приведем подобные члены:

\(4(\sin^2 \alpha + 3\sin \alpha \cos \alpha + \frac{9}{4}\cos^2 \alpha) - 4b = 0\).

Вынесем 4 за скобки и приведем к общему множителю, получим:

\(4(\sin \alpha + \frac{3}{2}\cos \alpha)^2 - 4b = 0\).

Теперь выразим \(b\) и получим окончательный ответ:

\(b = (\sin \alpha + \frac{3}{2}\cos \alpha)^2\).

Таким образом, максимальное значение параметра \(b\) будет равно \((\sin \alpha + \frac{3}{2}\cos \alpha)^2\) при любом значении \(\alpha\).